进一步阅读 Leitura 博尔扎诺，皈依数学的牧师 伯纳德·博尔扎诺 (1781–1848) 在布拉格出生和去世，当时是奥地利帝国的一部分。他是一位天主教牧师和宗教哲学教授，但他的和平主义和对社会秩序的批评的思想令教会和政府感到不满：在1819中，他失去了教授职位，开始离家写作。数学成了他的避难所，而他的同时代人几乎不读他的作品。 伯纳德·博尔扎诺.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在 1817 中，他发表了Rein analytischer Beweis（“纯分析证明”），其中他无需借助绘图证明了在区间内改变符号的连续函数会抵消当前的中间值定理。为此，他需要一个不依赖于几何直觉的连续性定义。博尔扎诺很早就意识到分析需要严谨，以至于菲利克斯·克莱因称他为“算术之父”。他和柯西从未见过面，但他们对极限、连续性和收敛性的定义非常相似；让他们为人所知的是更有威望的柯西。 在 1834 中，Bolzano 构造了一个函数在某个区间上连续且在任何点都没有导数。该示例尚未发布，最终功劳归于 Weierstrass，他在几十年后重新发现了这些结果。其他作品也遭受了同样的命运：今天我们称之为Bolzano-Weierstrass定理，它保证每个具有无限元素的有限集合至少有一个累加点，并且级数收敛准则之一以柯西的名字命名。 在遗书中 无穷悖论 （1851），博尔扎诺证明有 0 到 1 之间的实数与 0 到 2 之间的实数一样多 — 只需加入 $x$ 这 $2x$ —，或者一厘米线段上的点与两厘米线段上的点一样多。恢复伽利略的观察，他承认无限集合可以与其自身的一部分相对应。他似乎直觉地认为，实数的无穷大与整数的无穷大是另一种类型，只有康托才能将这一想法精确化。说博尔扎诺是“沙漠中哭泣的声音”并非没有道理。 来源： Bolzano (MacTutor) · Bernard Bolzano（斯坦福哲学百科全书）。