黎曼 1851 年的博士论文有个朴素的标题：《单复变函数一般理论的基础》。论文中有两个改变了数学的想法：一个复变函数要有导数必须满足的条件，以及处理多值函数的一种几何方法。 可以求导的函数 复变函数 $f(z)$（$z = x + iy$）可以写成 $f = u + iv$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下有导数，也就是说，不论 $h$ 沿哪个方向趋于零，极限 $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ 都相同，$u$ 和 $v$ 就必须满足柯西–黎曼方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$柯西早已知道这组方程，黎曼把它们放到了理论的中心。一个推论是 $u$ 和 $v$ 都是调和函数，满足拉普拉斯方程，这就是复变函数如此适合描述电、热和流体的原因。 平方根的问题 有些复变函数不止一个值。最简单的例子是 $\sqrt{z}$。把 $z$ 写成极坐标形式 $z = r\,e^{i\theta}$，它的一个平方根是 $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$。现在绕原点转一整圈：$\theta$ 增加 $2\pi$，点 $z$ 回到出发的位置。但平方根变成了 $$\sqrt{r}\,e^{i(\theta + 2\pi)/2} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\,e^{i\pi} = -\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.$$转一圈后，平方根变了号；转两圈，才回到初始值。这个函数在平面上没有良好的定义。
十八世纪末，欧拉和拉普拉斯用一个大胆的技巧计算困难的实积分：把实变量换成复变量，算完之后再回到实数。拉普拉斯称之为“从实到虚的过渡”。结果都对得上，但没有人能说清楚这个技巧何时合法。正是为了回答这个问题，25 岁的柯西在 1814 年向科学院提交了一篇关于定积分的论文。这篇论文直到 1827 年才发表，而它只是一个开端。 在平面上可导的函数 复变函数 $f(z)$，其中 $z = x + iy$，可以写成 $f = u + iv$，$u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下可导，$u$ 和 $v$ 必须满足柯西–黎曼方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$这组方程在达朗贝尔和欧拉那里已经出现过；柯西把它们放到了理论的中心，三十年后黎曼又以它们为出发点。对 $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy)$：$u_x = 2x = v_y$，$u_y = -2y = -v_x$。 积分定理 1825 年，柯西发表了《论虚数限之间的定积分》。在平面上从点 $z_0$ 积分到点 $z_1$，必须选一条连接两点的路径。核心定理说：路径无关紧要，只要把一条路径变形为另一条时所扫过的区域内，函数始终有限且连续。换一种说法：沿任何不绕过麻烦点的闭合曲线，积分都为零， $$\oint f(z)\,dz = 0.$$最重要的例子恰恰是定理不适用的情形。沿半径为 1 的圆按逆时针方向对 $\frac{1}{z}$ 积分。令 $z = e^{it}$，则 $dz = i e^{it}\,dt$，于是