革隆王啊，有些人认为沙粒的数目是无穷的。我要向你证明，我所命名的数中，有一些不仅超过能填满大地的沙粒数，甚至超过能填满宇宙的沙粒数。 — 阿基米德，《数沙者》，致革隆国王的信 《数沙者》是写给希伦国王之子革隆的一封信，也是阿基米德唯一一部为非数学家读者写的书。问题是要证明：存在一个数，比填满整个宇宙所需的沙粒数还要大。 没有名字的数 难点不在计算，而在命名。希腊的记数法用字母表示数字，实际上只能写到万（myriad），即 10 000。“万万”，即 $10^8$，已经是一个巨大的数了。阿基米德提出继续往上： 不超过 $10^8$ 的数构成第一级； 把 $10^8$ 当作新的单位，不超过 $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$ 的数构成第二级； 依此类推，直到第 $10^8$ 级，它结束于 $\left(10^8\right)^{10^8} = 10^{800\,000\,000}$。 所有这些级构成第一周期。阿基米德又继续用周期往上数，一直到 $10^{8 \cdot 10^{16}}$。本质上，这就是把底数的幂当作台阶，也正是科学记数法背后的思想。 宇宙的大小 要填满宇宙，就得知道宇宙有多大。阿基米德采用了当时天文学家所提出的最大的宇宙：萨摩斯的阿里斯塔克斯的宇宙，他把太阳放在中心，地球绕着太阳转。在这个模型里，恒星必须远到在一年之中察觉不到它们有任何视位移。 哥白尼之前的日心说 阿里斯塔克斯论述这个问题的著作已经失传。我们对他以太阳为中心的模型的了解，主要来自《数沙者》中的这一段：阿基米德概述了这个假说，把它当作最极端的情形来使用。十八个世纪后，哥白尼知道阿里斯塔克斯的想法，甚至在《天体运行论》的手稿中提到过他，但那一段在印刷版中被删掉了。 接着，阿基米德做了估计，而且总是往安全的一边夸大：一粒罂粟籽里能装多少沙粒，一指宽能排多少粒罂粟籽，一斯塔德（约 180 米）有多少指宽，宇宙的直径有多少斯塔德。把这些全部乘起来，他得出阿里斯塔克斯的宇宙能装下的沙粒少于 $$10^{63} \text{ 粒}.$$这是第一周期中第八级的一个数，离他所发明系统的极限还远得很。 国王为什么想知道这个 这本书是关于无穷本身的一课。许多人把“非常大”和“无穷”混为一谈。阿基米德说明，即使是看似无法想象的数量，也有一个数，数学能给它命名，还能超越它。同时，这本书也汇集了当时的天文知识：太阳、月亮和地球的大小，甚至还有阿基米德本人对太阳视直径的测量。 练习：万用 10 的幂表示一万、万万，以及第二级的最后一个数。 一万：$10^4$。万万：$10^4 \cdot 10^4 = 10^8$，第一级的终点。第二级以 $10^8$ 为单位，一直到 $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$。 练习：一个现代的数据估计，可观测宇宙中约有 $10^{80}$ 个原子。这个数落在阿基米德系统的哪一级？ 第 $k$ 级从 $10^{8(k-1)}$ 到 $10^{8k}$。对 $10^{80}$，需要 $8(k-1) < 80 \le 8k$，即 $k = 10$：$10^{80}$ 恰好是第一周期第十级的最后一个数。阿基米德为数沙而创造的系统，用来数宇宙中的原子仍然绰绰有余。