让我们推导计算$x$的三角函数的公式，其中$x$在第一象限之外，将$x$与第一象限中的某个数字相关联。目标是从给出 $0$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间实数循环函数的表中了解 $\operatorname{sen} x$、$\cos x$ 和 $\operatorname{tg} x$。 将 $P$ 拖过所有象限。第一象限的点$P'$是$P$的对称点；比较面板上的正弦和余弦值。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 故事 三角函数表总是仅覆盖圆的一部分：Aryabhata 的弧线从 $0^\circ$ 到 $90^\circ$，而对于其他弧，天文学家使用圆的对称性。缺少的是标志的规则。虽然正弦和余弦是线段长度，但它们始终为正，并且每个象限都需要单独推理。这一变化是随着人们接受负数作为具有几何意义的数字而发生的。在 1629 中，法国人 Albert Girard 写道，在几何学中，负解“表示挫折”——无论谁走 $-3$ 步，都会向后走 3 步。正是这个想法向循环中一点的坐标发出信号，从而向每个象限中的循环函数发出信号。在接下来的一个世纪，欧拉将符号规则组织成我们使用的形式。 阿尔伯特·吉拉德是谁 阿尔伯特·吉拉德 (1595–1632) 出生于洛林圣米耶尔的一个新教家庭，与许多其他人一样，由于宗教迫害而在荷兰避难。他在莱顿学习，曾一度以鲁特琴演奏家为生，最终在奥兰治王子弗雷德里克·亨利的军队中担任工程师。在 1626 中，他发布了三角函数表，其中首次出现缩写 tan 和 sec。在Invention nouvelle en l’algèbre (1629)中，他超越了他的时代：他指出，度方程$n$有$n$个根，计算负数和“不可能”的根——我们今天所说的代数基本定理，仅由高斯在1799中证明。他在37岁时去世，使他的家庭陷入贫困。 628印度的Brahmagupta给出了处理“债务”（负面）和“财富”（正面）的规则。 1545卡尔达诺仍然称负根numeri ficti，虚构数字。 1629Albert Girard：在几何学中，负数“表示挫折”。 1637笛卡尔发布了几何，它产生了坐标。 1748欧拉组织了四个象限中的循环函数的符号。 来源： Girard (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。 在日常生活中 **计算器。**要计算 $\operatorname{sen} 1000^\circ$，机器首先转动 ($1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ$)，然后将其减少到第一象限：$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen} 80^\circ$。 导航。 向 $225^\circ$（西南，从东测量）方向步行 10 公里，向东移动 $10\cos 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里，向北移动 $10\operatorname{sen} 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里：路牌上写着“西”和“南”。 游戏。 面向 $150^\circ$ 的角色朝 $(\cos 150^\circ, \operatorname{sen} 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 方向行走：向左并向上一点。 在任何象限的航向中，余弦和正弦符号表明船是向东还是向西、向北还是向南行驶。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
将一张纸对折，在折痕上剪出图案，然后打开：两半相等，一个 “反映”对方。该图具有对称性。 对称轴 Definição · 对称轴 当有一条线将图形分为相交的两半时，图形就有对称轴 沿着这条线折叠图形时完美贴合。每一半都是另一半在镜子中的倒影。 单击一侧的方块：镜子绘制另一侧。尝试蝴蝶并更换轴。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 一个图形有多少个轴？ 绘制的心形具有1轴（垂直）。 矩形 有 2 轴：一个站立，一个躺着。 正方形 有 4 轴：两个穿过边的中间，两个穿过对角线。 圆 具有无限轴：任何穿过中心的线。 有些数字根本没有轴，例如字母 F。 正方形的四个对称轴。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.