1895 年，俄国画家尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基展出了一幅画，名为《心算。在拉钦斯基的民众学校里》。在一间乡村教室里，赤着脚的农家男孩们盯着黑板，有的手托着下巴，有一个正凑到老师耳边低声说话。黑板上写着： $$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$ 尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基，《心算。在拉钦斯基的民众学校里》（1895）。莫斯科，特列季亚科夫画廊。Nikolai Bogdanov-Belsky · 维基共享资源 · 公共领域 这位老师确有其人。谢尔盖·拉钦斯基原是莫斯科大学的植物学教授，他放弃了学术生涯，回到自己出生的塔捷沃村教农民的孩子。他喜欢出一些看起来很庞大、却有捷径可走的算式。波格丹诺夫-别尔斯基本人就曾是他的学生。 不必做的算术 按阅读顺序计算的人，得把五个数平方，把三位数的结果加起来，再除以 $365$。可以做，但很长。先看一眼的人会注意到别的东西： $$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$分子是 $365 + 365$，答案是 $2$。分母上的 $365$ 就是线索：它提醒我们，分子应该能分成这么大的几块。 两条路的差别不在计算能力，而在阅读。一个式子有形状：在做任何计算之前，就能看出它是一个分数，分子是五个平方数之和，这些数是连续的。第2章说明了每个公式里都藏着一棵树；读得好，就是在爬树之前先看见树。 双面的符号 对拉钦斯基的学生来说，$13^2$ 既是一条指令（“把 13 乘以 13”），又是一样东西（数 $169$，可以和别的数相加）。数学教育家埃迪·格雷和戴维·托尔在 1994 年的一篇论文中，把这种双重角色称为程序概念（procept），即过程与概念的结合。同一个符号 $3+4$ 可以读成“把 3 和 4 相加”，也可以读成数 $7$；$\frac{a}{b}$ 可以读成“相除”，也可以读成一个可以和别的分数比较的分数。 按照格雷和托尔的说法，学得下去的学生和卡住的学生，差别很大程度上就在这里。只看到过程的人，每一步都得从头再做，淹没在冗长的计算里。能把符号当作对象的人，就能把它存起来、比较它、组合它。本书所说的能动的记号，正是允许这种转换的记号：写 $13^2$ 而不写“十三乘十三”，就把一项任务变成了一个对象。