符号 ∞ 已知最早的用例，见约翰·沃利斯的《论圆锥曲线》（1655）。正文中间写着“esto enim ∞ nota numeri infiniti”，即设 ∞ 为一个无穷数的符号。往上两行，每个平行四边形的高是总高的 1/∞。John Wallis · Wikimedia Commons · 公有领域 1655 年，牛津教授、英国人约翰·沃利斯把一个平面图形分成无穷多个极薄的平行四边形，每个的高都等于总高的一个无穷小部分。为了写下这一部分，他需要一个表示无穷的符号，于是发明了一个： 那么，设 ∞ 为一个无穷数的符号。 — 约翰·沃利斯，《论圆锥曲线》（1655） 他把每个平行四边形的高写成 $\frac1\infty$。没有人确切知道他从哪里得到了这个形状。最常被提到的两种假说是：罗马数字 CIↃ 的一种变体，它表示一千，常被用来表示“很多”；以及希腊字母表的最后一个字母，小写的欧米伽 $\omega$，意味着万物的终点。 长得像数的符号 $\infty$ 的麻烦在于它看起来像一个数。它和其他数排在同一行上，旁边可以写运算符号，可以进入分数。这就引诱人做一些毫无意义的计算。如果 $\infty$ 是一个数，那么 $\infty-\infty=0$。但请看： $$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$在这三个计算中，两项都趋于无穷，而结果各不相同。所以 $\infty-\infty$ 被称为不定式：值不由写法决定，而由各部分增长的快慢决定。$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$ 和 $\frac00$ 也是一样。 极限中的 ∞ 是一个方向 当我们写 $x\to\infty$ 时，$\infty$ 不是 $x$ 到达的一个地方，而是一个方向：“$x$ 不停地增大”。句子 $$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$并不是说 $\frac1\infty=0$，而是说只要 $x$ 足够大，$\frac1x$ 就能任意地接近零。第1章讲述了柯西和魏尔斯特拉斯怎样不把无穷当作数来写下这一点。亚里士多德把这种无穷叫作潜无穷：一个总能继续、却永远不会完成的过程。 约翰·沃利斯（1616–1703），牛津的几何学教授、英国议会的密码学家，此像依据戈弗雷·内勒的画作绘制。依据 Godfrey Kneller · Wikimedia Commons · 公有领域 有大小的无穷 十九世纪末，格奥尔格·康托尔做了一件亚里士多德禁止的事：他把无穷集合当作完成了的对象，并比较它们的大小。自然数集和偶数集一样大，因为它们可以一一配对（$n\leftrightarrow2n$）。实数集更大，这一点由对角线论证说明——历史书中图灵那一章在讲可计算数时用的就是它。