1946 年，冯·诺依曼在洛斯阿拉莫斯的同事、波兰数学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆正在从脑炎中康复，靠玩单人纸牌打发时间。他想知道一局牌能打通的概率是多少。用组合数学去算，复杂得毫无希望。但还有另一个办法：玩上几百局，数一数有多少局打通了。有了计算机，就可以玩上几千局。 乌拉姆把这个想法告诉了冯·诺依曼，后者立刻看出了它的威力：同样的窍门可以用于他们在洛斯阿拉莫斯面对的问题，即中子在炸弹或反应堆中的路径，每个中子都会随机地偏转、被吸收或增殖。不去解方程，而是模拟成千上万个中子，用抽签决定每个中子遇到什么，然后取平均。尼古拉斯·梅特罗波利斯用蒙特卡洛赌场给这个方法命名，乌拉姆的一位叔叔常去那里赌钱。 斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆手持 FERMIAC，这是恩里科·费米的一辆小推车，能在纸上画出由人手随机选出的中子路径：一台机械的蒙特卡洛装置。Los Alamos National Laboratory · Wikimedia Commons · 公有领域 1948 年，最早的模拟在 ENIAC 上运行。大部分代码是由冯·诺依曼的妻子克拉拉·丹·冯·诺依曼编写的，她是历史上最早的程序员之一。 用随机点计算 π 最简单的例子：随机抽取点 $(x, y)$，$x$ 和 $y$ 都在 $0$ 和 $1$ 之间。一个点落在四分之一圆 $x^2 + y^2 \le 1$ 内的概率是面积之比，$\frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}$。因此 $$\pi \approx 4 \times \frac{\text{落在里面的点数}}{\text{抽取的点数}}.$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 估计值改进得很慢。典型误差按 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的方式减小：要多得一位小数，就需要一百倍的点。计算 $\pi$ 有好得多的方法。但在有许多变量的问题里，比如中子在三维空间中带着能量、方向和碰撞类型的路径，蒙特卡洛往往是唯一可行的方法，因为它的误差与维数无关。 制造偶然 计算机是确定性的机器。“随机”数从哪里来？1949 年，冯·诺依曼提出了平方取中法：取一个四位数，把它平方，把结果写成八位数，取中间四位。这就是下一个数。他完全清楚这不是真正的随机： 任何考虑用算术方法产生随机数字的人，当然都处于罪孽之中。 — 约翰·冯·诺依曼，《与随机数字有关的各种技术》（1951） 这个序列最终会重复或者落到零。但它很快，而且结果可以重现，便于核对计算。今天使用的生成器要好得多，但冯·诺依曼的原则依然成立：人们对生成器的要求不是真正的随机，而是通过问题所需的统计检验。 练习：平方取中从 $1234$ 出发，用平方取中法生成三个数。 $1234^2 = 1\,522\,756$，写成八位数 $01522756$：中间是 $5227$。$5227^2 = 27\,321\,529$：中间是 $3215$。$3215^2 = 10\,336\,225$：中间是 $3362$。序列开头是 $1234, 5227, 3215, 3362, \ldots$