上一篇文章我们看到，符号的位置是公式意义的一部分：括号、指数和分数线显示零件如何组合。有些完整的计算方法把这个想法推到了极致：每个数写在什么位置，本身就是算法。知道把数放在哪里的人，就已经会做这道题了。本站早期的文章收集了三个例子，分属三个不同的时代。 埃及人：靠加倍做乘法 三千五百多年前，埃及书吏不用乘法表就能做乘法。他们用两栏：左栏是从 $1$ 开始的 $2$ 的幂；右栏是其中一个因数，每次加倍。计算 $21\times37$： 1 的加倍 37 的加倍 ✓ $1$ $37$ $2$ $74$ ✓ $4$ $148$ $8$ $296$ ✓ $16$ $592$ 在左栏中，标出加起来等于 $21$ 的那几行：$16+4+1=21$。在右栏中，只把标出的行相加：$592+148+37=777$。完成：$21\times37=777$。 这看起来像魔术，本站早期的文章问道：“这是神秘主义吗？”不是。左栏的标记把 $21$ 写成了二进制： $$21=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=10101_2,$$而计算不过是分配律：$21\times37=(16+4+1)\times37$。埃及书吏做二进制算术，比莱布尼茨写到它早了三千多年。他们的表就是一种记号：打了 ✓ 的行和没打 ✓ 的行，就是 1 和 0。 帕乔利：在窗格里做乘法 1494 年，方济各会修士卢卡·帕乔利在威尼斯出版了《算术、几何、比与比例概要》，这是一部收录商人需要知道的一切的百科全书。在各种乘法中，他教了一种在被对角线切开的格子里做的方法，并解释了它的名字： 我们所说的 gelosia，是指那种通常装在有女眷居住的房屋窗户上的格栅。 — 卢卡·帕乔利，《算术概要》（1494） gelosia 是一种木制格窗，让人能看到街上，自己却不被看见。这种算法的版面就像那种格栅： 用格子乘法计算 23 × 12。每一格写上方数字与右侧数字之积；沿对角线相加，读出 0、2、7、6。根据本站早期文章为本书绘制的教学示意图。 把 $23$ 的各位写在上方，$12$ 的各位写在右侧。每一格填入相交的两个数字之积，十位写在对角线上方，个位写在下方：$1\times2=02$，$1\times3=03$，$2\times2=04$，$2\times3=06$。然后沿每一条对角带从下往上相加：$6$；$4+0+3=7$；$0+0+2=2$；$0$。结果是 $0276$，也就是 $23\times12=276$。 秘密又一次在于位置。格子里的对角带就是数位：第一条装个位，第二条装十位，第三条装百位。格子自己完成了学校算法中用“进位”和“每行左移一位”所做的事。本站早期的文章还用一张数位表展示了同一道题：
来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色（第一次应用）。 ENEM 数学和技术测试 2021 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。 模板 问题 主题 模板 151 燃油性能（公里/升） D 152 平行六面体的面积 B 153 气缸容积 D 154 分段定义函数的图 A 155 具有整数域的二次函数 E 156 矩阵：读取元素 E 157 连续百分比变化 B 158 成反比的量 A 159 优化：降低成本 D 160 百分比：数量减少 C 161 三角函数：弹簧运动 A 162 定理运算和二次方程 E 163 规模 C 164 每千名居民的预测和比率 D 165 图表解读：月度利润 B 问题 151：新引擎的性能 陈述 汽车的平均性能为 16 km/L。一名工程师 开发了一种新型内燃机，可以节省燃料消耗， 以前的发动机，每行驶 20 公里需要 0,1 L 燃油。
第一个比例概念出现在格拉萨的尼科马科斯的著作中，该著作由两本书组成，具有毕达哥拉斯学说。比例的概念与比较的艺术有关，历史上我们已经在以下领域看到过这些概念： 古埃及， 公元前六世纪到公元前五世纪之间的希腊（毕达哥拉斯学派）克罗托纳。 欧几里得几何原理，大约公元前 300 古埃及 毕达哥拉斯学派 欧几里得学派 在欧几里得的《几何原本》中，他将比率定义为两个同类量之间的大小关系。这个概念对于后世文明来说似乎有些混乱。 第一个证明欧几里得定义合理性的数学家是 Isaac Barrow（大约 1666）。今天我们知道比例是现代数学的基础。 比例 在上一篇文章中，我们讨论了等值分数。她是比例的一个例子。例如，当我们有 $a~.~d = b~.~c$ 时，我们从中获得有理数： $$\dfrac{a}{b} = \frac{b}{d}$$为了说明比例的应用，我们可以提到屏幕、显示器、智能电视等的分辨率。 作为一个数值示例，我们有： $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{ {\color{red}{4} } }{ {\color{red}{4} } } ~.~ \dfrac{1}{2}$$用正式的术语来说，我们可以将这个例子定义为： 定义： 令比例为 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ 并且 $m,$ $m_\star$ 和 $n$ 属于自然数 $\mathbb{N}$， 使用 $a = m~.~\dfrac{b}{n}$ 和 $c = m_\star~.~\dfrac{d}{n}$。 然后$m = m_\star.$ 比例比率 通过到目前为止的定义，我们可以引入比例比的概念。 **定义：**当一个比率等于另一个比率乘以常数 $k$（自然数、整数或有理数）时，两个量成比例。 值得记住的是，由于我们没有定义任何其他数字集，因此我们只使用自然数、整数和有理数。 准确地说，前面定义中的常数$k$称为比例比。在处理比例时，我们必须牢记大小的概念。在高中的物理学中，量值的概念是研究物理学中任何概念的基础。这样，如果我们学会很好地使用比例，70% 到 80% 的物理和化学测试就可以作为量级分析的概念来解决（参见量纲分析）。 除了在物理和化学中的应用外，这些概念还用于数学本身，我们称之为“三法则”。这个概念将在下一篇文章中解释。 应用 - 书籍：计算的人 为了加深概念，我们将解决 Malba Tahan 的书中提到的一个问题，题为“计算的人”页面 21。