关于阿基米德最有名的故事，并不见于他的任何一本书。它是两个世纪后罗马建筑师维特鲁威在《建筑十书》第九书里讲的。 希伦的王冠 希伦国王定做了一顶献给神的王冠，交给金匠一定数量的金子。王冠做好了，重量和交出去的金子一样。但有传言说，金匠私吞了一部分金子，换上了同样质量的银。希伦请阿基米德在不损坏王冠的前提下查明真相。 据维特鲁威说，阿基米德正想着这个问题时，跨进一个满满的浴盆，看到身体下沉时水溢了出来。他当即明白了该怎么做，光着身子跑回家，用希腊语大喊 heúreka, heúreka：“我找到了，我找到了”。 维特鲁威的方法 在维特鲁威的版本里，办法是比较体积。银的密度比金小：同样质量的银，体积几乎是金的两倍。如果王冠里掺了银，它的体积就会比同质量的纯金块大。要测量形状不规则的物体的体积，只要把它浸入一个盛满水的容器，量出溢出的水即可。 据说阿基米德先放入一块与王冠同质量的纯金，再放入一块银，最后放入王冠本身。王冠溢出的水比纯金多：金匠确实作了弊。 为什么几乎行不通 1586 年，年轻的伽利略·伽利莱写了一篇短文《小天平》，指出了问题所在：体积的差别非常小，用当时的容器足够精确地测出溢出的水，几乎是不可能的。请在下面的练习中算一算。伽利略提出，阿基米德用的应当是一种灵敏得多的方法，所依据的正是他真正证明过的一个结果。 阿基米德原理 在《论浮体》中，阿基米德证明：浸在液体中的物体会受到一个向上的浮力，大小等于被排开液体的重量。比液体密度大的物体会下沉，但显得轻了；比液体密度小的物体会漂浮，浸没的部分使排开的液体与整个物体一样重。 伽利略提出的方法用的是天平。把王冠挂在一个秤盘上，把同质量的纯金块挂在另一个秤盘上。在空气中，天平是平衡的。现在把两者都浸入水中。如果王冠的体积更大，它排开的水更多，受到的浮力更大，就会上升：天平向纯金那边倾斜。浮力之差直接作用在天平上，而普通天平比水位灵敏得多。 用现代的话说：质量为 $m$、体积为 $V$ 的物体浸在水中（密度 $\rho_a = 1$ 克/立方厘米），视重为 $$m - \rho_a V.$$ 像船一样漂浮 《论浮体》远不止讲浮力。在第二卷中，阿基米德研究了旋转抛物体（一种与船体相似的形状）在什么姿态下能稳定漂浮、在什么姿态下会翻覆。这是对船舶稳定性的第一次数学研究，直到 18 世纪，造船工程师才重新以同样的深度探讨这个问题。这部著作已知唯一的希腊文抄本保存在阿基米德重写本中。 练习：王冠的体积王冠重 1000 克。金的密度为 19.3 克/立方厘米，银为 10.5 克/立方厘米。纯金王冠的体积是多少？含 700 克金和 300 克银的王冠呢？如果容器的口是直径 20 厘米的圆，水面会多升高多少？ 纯金：$\frac{1000}{19.3} \approx 51.8$ 立方厘米。掺银的王冠：$\frac{700}{19.3} + \frac{300}{10.5} \approx 36.3 + 28.6 = 64.8$ 立方厘米。差约 13 立方厘米。容器口的面积为 $\pi \cdot 10^2 \approx 314$ 平方厘米，所以水面只会多升高 $\frac{13}{314} \approx 0.04$ 厘米：不到半毫米。这就是伽利略怀疑维特鲁威说法的原因。