恒等式是一种平等，适用于双方都有意义的所有值。展示恒等式是操纵三角学的重要训练：每一步都使用已经证明的关系。 故事 为了证明身份，有必要以简短的形式编写函数。直到 17 世纪，这种情况还不存在：每种关系都用文字表示——“弧的补码的正弦”、“弯曲弧的正切”——并且单行恒等式占据一个段落。缩写逐渐出现：Gunter在1624的图中使用了sin，法国人Pierre Hérigone将其打印在1634的书中，英国人William Oughtred写了类似的东西s co arc 表示余弦。 欧拉在Introductio (1748)中确立了使用sin.、cos.、*tang.*作为数量 相加、相乘和平方 — 正是这种用法允许您将恒等式作为代数表达式进行操作。 威廉·奥特雷德是谁 William Oughtred (1574–1660) 几乎一生都是伦敦南部村庄奥尔伯里的教区牧师。数学是他的爱好，他向所有出现在他家的人免费教授数学——他的学生包括圣保罗大教堂的建筑师克里斯托弗·雷恩和数学家约翰·沃利斯。他的 Clavis mathematicae (1631) 引入了乘法符号 $\times$，并普及了许多其他符号。在 1622 左右，Ougtred 将两个对数冈特刻度并排放置，并发明了计算尺，工程师们一直使用它，直到 1970 年电子计算器的出现。据说，在得知1660英国君主制复辟后，他在86岁时高兴地去世了。 1620Gunter 提出了余正弦 和余切线。 1624Gunter 在图中使用了缩写 sin。 1626Albert Girard 在他的平板电脑上写下 tan 和 sec。 1634Hérigone 在书中打印了sin。 1657Oughtred，在三角学中，将余弦写为s co arc。 1748欧拉将sin.、cos.、*tang.*修复为数量符号。 奥特雷德计算尺：两个相互滑过的对数冈特刻度。长度相加就是对数相加，即相乘。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 资料来源： Oughtred (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)。 在日常生活中 **地图上的距离。**导航应用程序使用haversine公式计算地球表面的距离，该公式使用恒等式$\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$来避免短距离的舍入误差。 127 V 插座。 插座电压呈正弦曲线振荡；恒等式 $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 显示均方是峰值平方的一半。因此，“有效”127 V 对应于约 $127\sqrt{2} \approx 180$ V 的峰值。 压缩的照片和音乐。 JPEG 和 MP3 格式将图像和声音分解为余弦和；三角恒等式保证这种分解可以被撤销。 插头电压及其平方：双弧恒等式解释了为什么 180 V 峰值值 127 V rms。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
在之前的文章中，我们定义了命题、定理、推论等。为了证明定理，这意味着给定的命题是一个重言式，其中我们通过真值表获得。下面，我们介绍一些展示结果的方法。 演绎法 演绎方法是通过使用定义和其他预先建立的结果获得的。为此，我们使用蕴涵 $(\Rightarrow)$ 和逻辑双蕴涵 $(\Leftrightarrow)$。 **示例1：**通过下面的陈述，我们将证明它是否是一个定理。为此，提出以下假设： $H_1$：时间就是金钱。 $H_2$：流浪汉有很多时间。 以及论文： $T$：流浪汉有很多钱。 命题 $H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$ 是定理吗？ 我们假设： $p$：“有时间”。 $q$：“有钱”。 $r$：“是个流浪汉”。 和： $H_1$：$p\wedge q$（有时间有金钱）。 $H_2$：$q\rightarrow r$（有钱就意味着是流浪汉）。 $T$：$r\rightarrow q$（流浪汉意味着有钱）。 这样，我们就可以写出命题： $$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$假设1和假设2意味着论文。 同义反复如何有效： $$(p\rightarrow q)\wedge (r \rightarrow p) \Rightarrow (r \rightarrow q)$$（有时间意味着有钱）和（成为流浪汉意味着有时间）意味着（成为流浪汉意味着有钱）。 因此，给定的命题是一个定理。 从实际的角度来看，这个结果可能没有意义，但根据所使用的陈述，我们可能会得出荒谬的结论。 **示例2：**通过下面的陈述，我们将证明它是否是一个定理。为此，提出以下假设： $H_1$：我思故我在。 $H_2$：石头不会思考。 以及论文： $T$：石头不存在。 命题 $H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$ 是定理吗？ 我们假设： $p$：“想”。 $q$：“存在”。 和： $H_1$：$p\rightarrow q$（思考意味着存在）。 $H_2$：$\sim p$（不认为）。 $T$：$\sim q$（不存在）。 这样，我们就可以写出命题：