雅各布·伯努利只活了五十岁，生前发表的东西不多，几乎都是《学者学报》上的短文。即便如此，很少有数学家像他一样，留下这么多我们至今天天在用的词语、符号和思想：积分、伯努利试验、二项分布、伯努利数、大数定律、随机。 “积分"这个词 莱布尼茨把导数的逆运算称为 calculus summatorius，即求和的演算，并用 $\int$ 来写它，这是 summa（和）的首字母 S 拉长后的样子。1690 年 5 月，雅各布在解决等时曲线问题时写道，两个表达式有"相等的积分”。这是 积分（integral）一词第一次出现在印刷的数学文本里。约翰采用了这个术语；1696 年，莱布尼茨同意把他的"求和演算"改称伯努利兄弟的 积分学。符号沿用莱布尼茨的，名称则来自雅各布。 年份 作者 记号或名称 出处 1659 彼得罗·门戈利 omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 莱布尼茨 $\int x$ 1675 年 10 月 29 日的手稿 1690 雅各布·伯努利 “integral” 《学者学报》 1696 莱布尼茨与约翰·伯努利 calculus integralis 通信 1822 傅里叶 $\int_a^b f(x)\,dx$ 《热的解析理论》 悬挂的链子 在 1690 年的同一篇文章里，雅各布问：两端悬挂的链子是什么形状？伽利略曾以为是抛物线。1691 年，约翰、莱布尼茨和惠更斯发表了正确答案，即 悬链线，今天用双曲余弦写作 $y=a\cosh\frac xa$。雅各布在这场比赛中输给了弟弟，但问题是他提出的。悬链线 的故事在约翰的学习路线里。 棣莫弗与正态曲线 黄金定理指出频率会接近概率，但雅各布对所需观察次数的估计过于夸大。1733 年，流亡伦敦的法国人亚伯拉罕·棣莫弗为 $n$ 很大时的二项式各项寻找更好的近似，发现了钟形曲线 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$这是 正态曲线 的首次出现，后来拉普拉斯和高斯把它放到了统计学的中心。有了它，雅各布的罐子只需大约 6 500 次抽取，而不是他算出的 25 550 次。
历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 雅各布·伯努利像，1687 年由他的弟弟尼克劳斯·伯努利所绘：原始页面 · 公有领域。 《猜度术》扉页，巴塞尔，1713 年：原始页面 · 公有领域。 雅各布·伯努利的墓碑，位于巴塞尔大教堂回廊，Wladyslaw Sojka 摄：原始页面 · 自由艺术许可。 鹦鹉螺壳剖面，Florian Elias Rieser 摄：原始页面 · CC BY-SA 4.0。 本站绘图 封面、两种螺线的示意图，以及模拟抛硬币中正面比例的图表，都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。遗产一文中积分记号的表格，是根据本站旧微积分课程中的一张表重新整理的。 记录 文件 data/bernoulli_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 雅各布·伯努利的全部主题 · ← 雅各布·伯努利的遗产
写下 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$它看起来就像 $3+4=7$ 那样的计算：左边是加数，右边是结果。但从来没有人把所有这些项都加起来，以后也不会有。这里的等号做的工作，与第4章列出的都不一样。它断言的是部分和 $$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$能任意地接近 $2$。用符号写： $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$$\Sigma$ 上方的 $\infty$，就是上一篇中作为方向的那个 $\infty$：它不是最后一项，而是“继续下去”的指令。 0.999… = 1 最让学生不安的等式是 $$0.999\ldots=1.$$许多人认为 $0.999\ldots$“非常接近 $1$，但永远到不了”。这种反对有符号学上的根源：省略号似乎描述一个正在进行的过程，而过程是不会结束的。但 $0.999\ldots$ 不是一个过程，它是这个过程的极限的名字： $$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$研究者戴维·托尔和什洛莫·温纳在 1981 年一项后来成为经典的研究中，把这称为概念意象（学生看到符号时所想象的东西）与概念定义之间的冲突。意象是“某个越来越近的东西”；定义是“一切都越来越接近的那个数”。 会骗人的和 当部分和不接近任何东西时，带 $=$ 的写法依然不变，危险就在这里。 格兰迪级数。 1703 年，意大利神父圭多·格兰迪研究了 $$1-1+1-1+1-\cdots$$一种方式分组，$(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。另一种方式，$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。格兰迪得出结论说和是 $\frac12$，并把它看作世界从无中被创造的象征。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ 不接近任何东西：这个级数在极限意义下没有和。 欧拉的 $-1$。 几何级数的公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ 在 $|x|<1$ 时成立。欧拉把它用在 $x=2$ 上，写下 $$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1.$$一串正数之和竟是负数。写法毫无异议地接受了这次代入；直到十九世纪的数学家要求每一个带省略号的 $=$ 都附有收敛的证明。 顺序很重要 在有限和中，加数的顺序无关紧要：$3+4=4+3$。在无穷和中，顺序可能很重要。交错调和级数 $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$是收敛的。现在把同样的项重新排列，每个正项后面接两个负项： $$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$三个一组，每组是 $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$，整个和变成原来的一半：$\frac12\ln2$。伯恩哈德·黎曼证明，对这样的级数，适当的重排可以得到你想要的任何值。符号 $\Sigma$ 不显示各项的顺序，而在这里，顺序就是一切。 阿基里斯与乌龟 2500 年前埃利亚的芝诺提出的悖论，是一个伪装起来的级数。阿基里斯跑得比乌龟快十倍，乌龟先出发 100 米。当阿基里斯跑到乌龟原来的位置时，乌龟又前进了 10 米；当他跑到那里，乌龟又前进了 1 米；如此下去。芝诺的结论是阿基里斯永远追不上乌龟。级数 $100+10+1+0.1+\cdots=111.1\ldots$ 表明，他在跑了 $111\frac19$ 米后追上了它。悖论来自把无穷多个阶段误当成无穷长的时间。 练习：0.333… 与 0.999…把 $0.333\ldots$ 写成几何级数并求和。再用这个结果得出 $0.999\ldots$