1925 年和 1926 年，量子力学的两个版本几乎同时诞生。海森堡的版本使用无穷矩阵；薛定谔的版本使用一个波动方程。两者在实验中给出相同的结果，却像是在谈论不同的东西，而且物理学家们使用的一些技巧，比如狄拉克的 delta“函数”，在数学家看来是不可接受的。 在哥廷根，冯·诺依曼与希尔伯特合作，证明了二者是同一个理论在不同坐标下的写法，并用一种统一的语言重写了全部内容。1932 年出版的《量子力学的数学基础》至今仍是想要完全严格地了解这一理论的人的参考书。 态是向量 在冯·诺依曼的语言里，一个物理系统的态是希尔伯特空间中长度为 1 的向量。希尔伯特空间是带有内积的空间，就像平面或三维空间，但可以有无穷多维。举一个最简单的例子：一个测量时只能给出“上”或“下”两种结果的系统，它的态位于平面上： $$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$把向量与实验室联系起来的规则由马克斯·玻恩提出、冯·诺依曼加以整理：每种结果的概率是对应分量的平方。取 $a = \frac35$，$b = \frac45$， $$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$条件 $a^2 + b^2 = 1$，即向量长度为 1，就是勾股定理在说：各个概率加起来等于 100%。 测量就是投影 测量之后，系统不再停留在 $\psi$：它转入与所得结果对应的态，$\mathbf{e}_\uparrow$ 或 $\mathbf{e}_\downarrow$。冯·诺依曼把这写成向量在某个轴上的投影，并把被测量的量，比如能量或位置，称为算子。测量可能得到的值就是这些算子的特征值。这是第一次完全用无穷维线性代数来描述实验室物理，冯·诺依曼也正是为此创造了今天研究生数学课程中讲授的大部分算子理论。 有漏洞的证明 在 1932 年的书中，冯·诺依曼给出了一个证明，说量子力学不能用“隐变量”，即可以让结果变得可预测的隐藏信息，来补全。作者的权威使这个证明被接受了几十年。1935 年，德国哲学家和数学家格蕾特·赫尔曼指出其中一条假设过强，但她的论文几乎无人阅读。直到 1966 年，物理学家约翰·贝尔重提这一批评，才使它为人所知。贝尔后来证明，某些隐变量理论确实不可能，但走的是另一条路，用的是另一些假设，并在此后几十年里经受了实验室的检验。 练习：把态归一化某个态正比于 $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$。把它写成长度为 1 的形式，并计算概率。 $(1, 1)$ 的长度是 $\sqrt{2}$，所以这个态是 $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$。每种结果的概率都是 $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$：一枚公平的量子硬币。
行列式是为了解线性方程组而诞生的。1750 年，加布里埃尔·克莱姆发表了以他命名的法则，把每个未知数表示成由系数构成的两个式子之比。但当未知数很多时，还缺少一种有条理地计算这些式子的方法。1772 年，亚历山大-泰奥菲勒·范德蒙德和拉普拉斯几乎同时把这些式子当作独立的对象来研究。现代意义上的行列式一词直到 1812 年才由柯西确定下来，而我们今天使用的竖线记号则来自 1841 年的阿瑟·凯莱。 六项，三组 $3 \times 3$ 矩阵的行列式有六项： $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1.$$拉普拉斯的想法是按某一行（或某一列）的元素把这些项分组。把第一列的元素 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 提出来： $$= a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1).$$每个括号都是一个 $2 \times 2$ 行列式：删去该元素所在的行和列后剩下的部分。这个较小的行列式称为该元素的余子式： $$= a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}.$$符号的棋盘 符号按棋盘模式交替：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素带符号 $(-1)^{i+j}$。
每个四元数 $q = a + v$（标量部分为 $a$，向量部分为 $v$）都满足一个实系数的二次方程。由于 $v^2 = -\lvert v \rvert^2$（见向量）， $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$由此 $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$一个四元数是一个二次实系数多项式的根，正如复数 $z$ 是 $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ 的根。在 1853 年的《四元数讲义》中，哈密顿更进一步，证明了四元数的某些线性函数也满足它们自己的一个多项式方程，并用它来计算这些函数的逆。 对于矩阵 五年后的 1858 年，阿瑟·凯莱发表了奠定矩阵代数的《矩阵理论论文》，并在其中一般地陈述了这个结果：每个方阵 $A$ 都使它的特征多项式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 等于零。凯莱验证了 $2 \times 2$ 的情形，说他核对过 $3 \times 3$ 的情形，却没有费心去证明一般情形。第一个完整的证明出自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯，1878 年。这个定理以凯莱和哈密顿的名字命名。