来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 齐次线性方程组 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 矩阵：$M$ 何时可逆 $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底数含变量的对数不等式 $]-2, 0[$ 4 多项式除法与根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$，$r = 0$；根为 $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角：和差化积 $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内切圆半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 椭圆：两焦半径夹角为 60° $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 等边圆柱与球 $400\pi$ cm² 和 $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形的边 $6 + \sqrt{11}$ 和 $6 - \sqrt{11}$ 10 计数：十边形的对角线对 175 第 1 题：齐次方程组何时有非零解 题目 设 $a$、$b$ 为正实数。考虑关于未知数 $x$、$y$、$z$ 的线性方程组：