到目前为止，我们已经求解了 $\mathbb{R}$ 中的方程，获得了无穷个解族。然而，通常情况下，只有 范围 内的解才有意义，例如，位于 $0$ 和 $\pi$ 之间的三角形的角度。某些方程出现得太多，以至于它们有自己的方法：它们是经典方程。 故事 方程 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 是同一周期的两次振荡之和的方程：它出现在天文学（两个圆周运动的组合）、波动物理学和电力（异相交流电）中。将 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ 重写为单个位移正弦曲线（辅助角 $\theta$）的技巧已被 18 世纪的天文学家使用。它在 19 世纪末获得了工业上的重要性，当时工程师 Charles Steinmetz 在 1893 中表明，交流电可以作为复数相加：每个正弦波变成一个具有长度（振幅）和斜率（相位）的箭头，而添加振荡就成为添加箭头。这正是我们在编写 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ 时所做的。 查尔斯·斯坦梅茨是谁 Charles Proteus Steinmetz (1865–1923) 出生于普鲁士布雷斯劳（现波兰弗罗茨瓦夫），患有残疾，导致背部弯曲，身材矮小。作为一名数学系学生，他加入了一家社会主义报纸，并在被捕的威胁下逃离了德国。于 1889 抵达美国，几乎没有钱，也不会说英语。几年之内，他成为斯克内克塔迪通用电气公司的首席工程师，在那里他被称为“斯克内克塔迪巫师”。他的复数方法使设计当今为家庭供电的交流电网络成为可能。据说，他被叫去修理一台没人能工作的机器，他检查了机器，并在缺陷处用粉笔画了一个“X”。费用很高，GE要求提供细节；据报道，斯坦梅茨回应道：“用粉笔标记 X：1 美元。知道在哪里标记：9.999 美元。” Steinmetz 相量：$a\operatorname{sen}x + b\cos x$ 是旋转箭头的高度，该箭头的长度为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.