在符号中可以看到一种有利于发现的优点：当符号简洁地表达出事物的确切本性，仿佛把它描绘出来时，这种优点最大；这时，思考的劳动便奇妙地减少了。 — 莱布尼茨致契恩豪斯的信（1678） 牛顿最先得到了微积分，但决定它怎么写的是莱布尼茨。而写法造成了天壤之别。 字母 d 1675 年 11 月 11 日，莱布尼茨在巴黎写的一份手稿中开始用字母 $d$ 表示一个无穷小的差。$d$ 来自拉丁文 differentia，源于动词 differre，意为“分开”。于是： $dx$ 是 $x$ 的两个非常接近的值之间的微小差； $dy$ 是 $y$ 相应的差； $\dfrac{dy}{dx}$ 是它们的比：$x$ 每变化一点点，$y$ 变化多少。 “微分学”（differential calculus）的名称由此而来：关于差的计算。 用 dx 来计算 莱布尼茨把 $dx$ 和 $dy$ 当作真正的量，只不过是无穷小的量。对于 $y=x^2$，如果 $x$ 变为 $x+dx$，那么 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$由于 $(dx)^2$ 比 $dx$ 无穷地小，他把它略去，得到 $dy=2x\,dx$，即 $$\frac{dy}{dx}=2x.$$这与牛顿用流数所做的计算相同，只是写法不同。今天我们用极限来说明“略去 $(dx)^2$”的合理性：有限差之比为 $2x+h$，当 $h\to0$ 时趋于 $2x$。 1684 年的论文 莱布尼茨 1684 年 10 月发表于《博学学报》的《求极大极小的新方法》第一页。这是微分学第一次付印。莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 1684 年 10 月，莱布尼茨在莱比锡的期刊《学术纪事》上发表了他的法则，标题很长：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它不受分数或无理量的阻碍，以及一种为此而用的奇妙算法》。这是六页密密麻麻、错印很多的文字，几乎没人看得懂。雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟看懂了，正是他们把微积分传遍了欧洲。
1962 年，曾在哈佛任教、当时在 IBM 工作的加拿大人肯尼斯·艾弗森出版了一本名为《一种编程语言》（A Programming Language）的书。尽管书名如此，它其实是一本讲数学记号的书：一种简洁而精确地书写算法的方法，用新的符号表示对整个数列和数表的运算。几年后，IBM 自己把这套记号变成了计算机可以执行的语言，并以书名为它命名：APL。 下取整、上取整与括号 艾弗森的一些符号离开了 APL，进入了普通数学。最著名的是下取整与上取整这一对： $$\lfloor x \rfloor = \text{不大于 } x \text{ 的最大整数}, \qquad \lceil x \rceil = \text{不小于 } x \text{ 的最小整数}.$$在他之前，人们写 $[x]$ 或“$x$ 的整数部分”，而上取整没有符号。有了这两个符号，需要分几种情况的计算可以写在一行里：$1$ 到 $100$ 之间 $7$ 的倍数有 $\lfloor 100/7 \rfloor = 14$ 个。 另一个符号，艾弗森括号，把一个命题变成一个数： $$[P] = \begin{cases} 1, & P \text{ 为真}, \\ 0, & P \text{ 为假}. \end{cases}$$有了它，“数一数 $1$ 到 $n$ 之间的偶数”就成了一个普通的和 $\sum_{k=1}^{n} [k \text{ 是偶数}]$，而这个和可以用通常的规则来处理。高德纳在 1992 年一篇名为《关于记号的两则札记》（Two notes on notation）的文章中为这种括号辩护，并在与罗纳德·格雷厄姆、奥伦·帕塔什尼克合写的《具体数学》一书中通篇使用它。上一篇中的克罗内克 δ 只是一个特例：$\delta_{ij} = [i = j]$。