二十世纪初，数学家们想从一个唯一的概念，即集合，出发构建整个数学。可是在这种语言里，数 $3$ 是什么？格奥尔格·康托尔谈到过“序数”，也就是度量队列中位置的数：第一、第二、第三，在所有有限的序数之后，还有第一个无穷序数 $\omega$。所缺的是说清这些数作为集合究竟是什么。 1923 年，19 岁的冯·诺依曼发表了一篇短文《论超限数的引入》，给出的答案如此简洁，以至于成了标准定义。 每个数都是它前面那些数的集合 规则只有一条：一个序数就是所有比它小的序数构成的集合。从空无开始： $$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$一般地，一个数的后继就是这个数本身再加上它自己： $$n + 1 = n \cup \{n\}.$$这个定义白送了三样东西： 数 $n$ 恰好有 $n$ 个元素：$3$ 的元素是 $0$、$1$ 和 $2$。数到 $n$，就是把 $n$ 的元素过一遍。 “小于”变成了“属于”：$m < n$ 意味着 $m \in n$。同时也意味着“包含于”：$2 \subset 3$。 一切都从空集造出来。不必假定数的存在：它们是用花括号制造出来的。 无穷之外 同一条规则继续适用。全体自然数的集合 $$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$是第一个无穷序数：它是所有比它小的序数构成的集合，和前面那些完全一样。接下来是 $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$，然后是 $\omega + 2$，依此类推，直到 $\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$……康托尔描述过这座阶梯；冯·诺依曼给每一级台阶都提供了具体的构造。
集合论有两个研究方向：公理化理论和朴素理论。公理化派依赖于对集合作为对象集合的非正式理解。朴素的方法在 19 世纪末得到了很好的发展，它将集合视为具有命题、引理、定理和推论的可证明的形式。集合论在数学中非常重要，特别是对于现代理论，例如： 数字 关系 功能 规范公理 公理是数学的基础。然而，当我们假设集合上的任何操作都可能导致诸如罗素悖论之类的悖论时。公理理论是确定集合允许哪些运算的基础。 规范公理表示，如果存在一个集合 $A$，并且我们可以通过属性描述该集合的元素，则存在一个集合 $B$，它是包含这些元素的 $A,$ 的子集。 **规范公理：**设 $A$ 为集合，$p(x)$ 为 $x$ 中的命题，并且必须用量词和变量表示为： 量词： $\wedge, \vee$ 等 变量： $x, y, A, B, dots$ 然后有一个集合生成 $A$ 的所有元素 $x$ 的一致性，使 $p(x)$ 为真。更具体地说 $$\\{x \in A; ~p(x) ~\text{é verdadeira}\\}$$ 这个公理对于避免语义悖论非常重要，例如理查德悖论。理查德悖论中描述的集合不能从规范公理构造，因为公理的属性仅限于逻辑运算符和一些量词。 罗素悖论 这个公理的另一个更有趣的应用是它保证 不存在包含所有集合的集合。 。由此，我们得出B/εU的结论，即不存在 一个宇宙集合。得出这个结论的论证称为悖论 通过拉塞尔， 罗素悖论对于理解集合论的某些性质非常重要。由此我们可以应用规约公理并证明不存在包含所有集合的集合。注意拉塞尔的论点。 **罗素悖论：**在某个城市，有一个理发师，他只给不给自己刮胡子的男人刮胡子。谁给理发师刮胡子？ 我们对此如何回应？ 假设有一个集合，其元素都是集合，即宇宙集合。 令 $U$ 为宇宙集。 因此，根据规范公理，我们可以构造该集合： $$B = \\{x \in U; x\notin x\\}$$目的是检查 if$B\in U.$ 这样，我们有两种可能性： $B\in B$ 或 $B\notin B$ 如果$B\in B$，通过指定$B,$我们有$B\notin B$ 如果 $B\notin B$，则 $B\in B$ 因此，我们之间存在着矛盾。