来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或数值计算）核对过。 记号约定与第一阶段相同：$i^2 = -1$，$m(\overline{AB})$ 为线段 $\overline{AB}$ 的长度， $A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角。 答案一览 题号 内容 答案 1 多项式：矩形的周长 $a = \frac{164}{125}$，$b = \frac{336}{125}$ 2 复数：虚部为零 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 3 递推定义的矩阵 725 4 计数：井字棋 120 5 反三角函数 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{3\pi}{4}$ 6 解析几何：直线夹角与距离 $Q = \left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 7 立体几何：正六棱台 $112 + \frac{224\sqrt{3}}{3}$ 8 圆内接四边形：外接圆半径 $r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 9 有公共水平切线的三个圆 $\left\{\left(1, \frac{21}{4}\right)\right\}$ 10 依次内接的正八面体与立方体 $\frac{l_{10}}{l_1} = \frac{1}{3^9}$ 第 1 题：周长为 8 的矩形的边长 题目 设 $x \in \mathbb{R}$。矩形 $R$ 的两边长为 $a = 9x^2 - 5x^4$ 和 $b = 8x - 8x^3$。 已知 $R$ 的周长为 8，求 $a$ 和 $b$。
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第一阶段共有 70 道选择题：物理 15 道、葡萄牙语 15 道、英语 10 道、 数学 15 道、化学 15 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 41 至 55。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ 为虚数单位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为以 $A$、$B$ 为端点的线段， $m(\overline{AB})$ 为其长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点、由射线 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 构成的角。 答案一览 题号 内容 答案 41 对数：换底公式 B 42 平面几何：垂直平分线与勾股定理 E 43 同解的线性方程组 C 44 复数：关于实数的命题 A 45 多项式与复平面上的面积 D 46 矩阵：交换性与行列式 E 47 正切与等差数列 D 48 圆锥曲线：双曲线的中心 C 49 立体几何：立方体中的棱锥与外接球 D 50 空间中的位置关系 A 51 二进制表示与概率 C 52 概率：过立方体顶点的直线 A 53 三角形中的三角函数 C 54 三角方程 C 55 正弦定理与外接圆 C 第 41 题：以 120 和 14400 为底的对数之和 题目 若