オイラー | Euler's Eyes

画像クレジット

ウィキメディアコモンズからの画像、すべてパブリックドメイン (または CC0): オイラーの肖像: ヤコブ・エマヌエル・ハンドマン、1753。バーゼル、1615：マテウス・メリアン。ヨハン・ベルヌーイ: アムステルダム国立美術館 (CC0)。サンクトペテルブルク科学アカデミー: G. カチャロフ、M. マカエフの後、1753。フリードリヒ 2 世: Antoine Pesne のスタジオ、1745。アナリシン・インフィニティウムの紹介, 1748. アレマーニュの王女への手紙, 1768. エカチェリーナ2世：アレクサンダー・ロズリン。 1778のオイラー：ヨーゼフ・フリードリヒ・アウグスト・ダルベス。 1652のケーニヒスベルク：メリアン・エルベン。橋梁の図: レオンハルト・オイラー、1736。平方根、数学の時代、数字 $e$、および春に関するセクションの画像は、コレクションからのものです。オイラーの目。インタラクティブフィギュアはこのウェブサイト用に作成されました。すべてのトピックはレオンハルト・オイラーによる · ← その他の貢献と遺産

September 30, 2026 読んだ

読み方: オイラー、分析の化身

補足資料補足資料オイラー、分析の化身レオンハルト・オイラー (1707 – 1783) はスイスのバーゼルで生まれました。プロテスタントの牧師である父親は彼に宗教の道に進むことを望んでいたが、この青年は当時ヨーロッパで最も偉大な数学者であったヨハン・ベルヌーイの生徒で、彼はすぐに彼の才能を認め、数学を勉強させてくれるよう家族を説得した。レオンハルト・オイラー、写真は1753。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン · ウィキメディアコモンズ · パブリックドメイン 1727 では、20 歳のときに、彼はロシアに新しく設立されたサンクトペテルブルク科学アカデミーに行きました。そこでは、師匠の息子であるダニエル・ベルヌーイとニコラウ・ベルヌーイがすでに働いていました。 1738頃、病により右目の視力を失った。 1741 年にフリードリヒ大王の招待を受け入れ、25 年間をベルリンアカデミーで過ごしました。 1766 年に彼はサンクトペテルブルクに戻り、死ぬまでそこで過ごしました。帰還後間もなく、白内障でもう一方の目の視力を失いました。オイラーは生涯の最後の 17 年間をほとんど盲目のまま過ごしました。そして、この期間に彼はアシスタントに口述筆記し、頭の中で膨大な計算をしながら作品のほぼ半分を制作しました。オイラーは、分析、数論、幾何学、力学、天文学、光学、音楽、造船など、ほぼすべてについて書きました。彼の本は非常に広く読まれたため、彼が使用した表記法の多くは私たちのものになりました。自然対数の底は $e$、円周と直径の比は $\pi$、$\sqrt{-1}$ は $i$、関数は $f(x)$、合計は $\Sigma$、小文字は $a$、$b$、$c$ です。角度 $A$、$B$、$C$ の反対側の三角形の辺。三角法に関しては、決定的な著作は 1748 によるIntroductio in ananalysin immunorum (「無限解析入門」) でした。その中で、サインとコサインは、任意の半径の円の部分であることをやめ、半径1の円上で測定される数値の関数になりました - まさにこの本の三角関数のサイクルです。三角法を指数関数に結び付ける有名な公式もあります。 $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$オイラーは、1783 年にサンクトペテルブルクで 76 歳で亡くなりました。天文学者のフランソワ・アラゴは、「人間が呼吸し、ワシが空中で生命を維持するように、一見何の努力もせずに計算した」と述べた。そして同時代の人々は彼を分析の化身と呼びました。出典: オイラー (MacTutor) · L. オイラー、無限解析の紹介 (1748)。

October 24, 2026 読んだ

オイラーと関数：規則に名前をつける

「現代の記法の建築家」という称号にふさわしい人がいるとすれば、それはレオンハルト・オイラーです。彼は歴史上のだれよりも多くのページの数学を書き、しかも読まれるために書きました。彼の本は教えるために使われ、彼が採用した約束ごとは本とともに広まりました。ずっと昔からあったように見える記号の多くが、彼の手を通っています。レオンハルト・オイラー（1707–1783）。ヤーコプ・エマヌエル・ハントマンによる 1753 年の肖像画。ヤーコプ・エマヌエル・ハントマン · パブリックドメイン 1706ウィリアム・ジョーンズが、円周と直径の比に $\pi$ を使う。気づく人はほとんどいない。 1727ある手稿で、オイラーが対数が $1$ になる数を $e$ と呼ぶ。 1734オイラーが $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$ と書く。関数の記法 $f(x)$ の誕生である。 1736『力学』で、オイラーがジョーンズの $\pi$ を採用する。『無限解析入門』（1748）によって、この記号は標準になる。 1755オイラーが和を表すのに $\Sigma$ を使う。 1777オイラーが $\sqrt{-1}$ に $i$ を使う。この文章が出版されたのは彼の死後だった。これらの記号に共通しているのは、どれも説明を名前に変えているということです。オイラー以前には、関数について語るには規則を説明しなければなりませんでした（「$x$ を 2 乗して 1 をたしてできる量」）。$f(x)$ のあとでは、規則は短い名前をもち、名前はほかの計算の中に入っていけます。$f(x+h)-f(x)$、$f(g(x))$、$f'(x)$。関数は、かつて数をあつかったのと同じようにあつかえる対象になったのです。それぞれの記号について詳しくは、オイラーが残した言語を見てください。関数、穴のあいた文関数（function）という言葉は、ラテン語の functio から来ています。動詞 fungi は、任務を果たす、職務を行うという意味です。関数とは、何かをするものなのです。この記号が $f(x)$ にたどりつくまでには、ほぼ百年かかりました。年人物関数の現れ方 1637 ルネ・デカルト曲線と結びついた、$x$ と $y$ のあいだの方程式 1667 ジェームズ・グレゴリー quantitas、ほかの量から得られる量 1671 アイザック・ニュートン流量、流れる量 1673 ライプニッツ functio という言葉 1718 ヨハン・ベルヌーイかっこなしの $\varphi x$ 1734 レオンハルト・オイラーかっこつきの $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$ 1837 ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ現代の定義：それぞれの $x$ にただ一つの $y$ を対応させる、どんな規則でもよいこのサイトの以前の記事は、関数のおもしろい読み方を提案していました。穴のあいた文として読むのです。「二倍する」関数は

October 10, 2026 読んだ

複利とオイラー数

ジョン・ネイピアは金融分野への応用において非常に重要であったため、レオンハルト・オイラーがこの分野に挑戦する動機となった。無理数の一つ金融分野への応用で最も重要なのは、これら 2 人の数学者のおかげです。複利複利と $e$ という数字の歴史は、(1654-1705) の間のジャックベルヌーイのおかげでした。彼は、複利手法を使用してローンの利息の最大値を発見することに興味を持ちました。初期値から蓄積された利息を元に、いかに利得を最大化するかを研究することに専念した。ベルヌーイはどのようにしてこの結論に達したのでしょうか? 単利で R$ 1 の資本を受け取り、1 年の終わりに 100% の利息を付けるとします。 $$ \begin{aligned} c_f &= c(1+p~.~t)\\ &= 1\left(1+\dfrac{100}{100}~.~1\right)\\ &= 1~.~(2)\\ &= R\$ ~2\\ \end{aligned} $$ この場合、年末には 2 レアルを獲得します。ただし、1 年の代わりに、金利は同じ期間に引き上げられた期間の逆数に比例します。この場合、彼は月ごとの複利 (12 月 = 1 年) を提案します。 $$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12}\\ &= R\$ ~2,61\\ \end{aligned} $$ もう一度この人は、金利が 1 日あたり複利になることを提案します (365 日 = 1 年)。 $$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365}\\ &= R\$ ~2,71\\ \end{aligned} $$ 最初の提案よりも 0.71 セント多く稼ぐのはあまり有利とは思えません。ただし、資本金が 100 レアルだった場合、71 レアルの方が有利になる可能性があります。

October 15, 2022 読んだ