補足資料 補足資料 ルジャンドル: 厳格で教訓的な幾何学を目指して 古代ギリシャでは公理はあらゆる学問分野に共通の真理、公準は特定の分野の真理を意味していたようです。ユークリッドは 5 つの公準 (その中には、任意の点から他の点に直線が引かれること、すべての限られた直線が伸びること、任意の中心と半径で円が描かれること、直角は等しいこと、そして有名な 5 番目の平行線の公準) と、「同じものに等しいものは互いに等しい」や「全体は部分よりも大きい」などの 5 つの公理を仮定しました。それ以来、原論 は演習や応用なしで定理をガタガタ言い続けます。このテキストは現代の基準からするとあまり教訓的ではありません。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 18 世紀のフランスでは、ユークリッドをよりわかりやすくするための本がいくつか出版されましたが、その多くは厳密さを犠牲にしていました。注目すべき例外は、アドリアン・マリー・ ルジャンドルによる幾何学の要素 (1752 – 1833) でした。ルジャンドルは、楕円関数と二次相互法則を完全に説いた数論の研究で才能を発揮し、厳密さと教訓を調和させた彼の幾何学の本は、著者の存命中にフランスで20版を発行しました。 1809 ではリオデジャネイロで翻訳され、翌年創設された王立陸軍士官学校で採用されました。約 40 年間、ルジャンドルは他の公準から 5 番目の公準を証明しようとしましたが、これは不可能な作業でした。しかし、この試みにおいても彼は素晴らしい創意工夫を示しました。 アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
演習と解決策 413 $r$、$s$、$t$ の平行線を使用して、以下のそれぞれの場合の $x$ の値を求めます。 解答を見るa) 3 ・ b) 12 ・ c) 15 ・ d) 6 414 図中、$r$、$s$、$t$ の線は平行です。 $x$と$y$の値を決定します。 解答を見るa) $x = \dfrac{10}{3}$ b) $x = \dfrac{25}{6}$ c) $x = \dfrac{10}{3}$ および $y = \dfrac{18}{5}$ 415 図において、$\overline{MN}$は三角形$ABC$の底辺$\overline{BC}$と平行です。 $x$の値を計算します。 解答を見る$x = 25$ 416 図では$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$となります。 $AB$の値を計算します。 解答を見る$AB = 18$ 417 図中、$x$の値を計算します。 解答を見る$x = 24$
三角形の角度の 角の二等分線 は、反対側の辺を他の 2 つの辺に比例する部分に分割します。 発見者 ザ 内部二等分定理 です 提案 VI.3 の 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。だ 外二等分線 それはギリシャ語本文にはありません。それはスコットランド人によって第 VI 巻の「命題 A」として追加されました。 ロバート・シムソン、彼の版では 要素 1756 年に出版され、1 世紀以上にわたって英国で幾何学教育の基礎として機能しました。 2 つの二等分線は、 アポロニウスの円、によって研究されました ペルガのアポロニウス （紀元前3世紀）。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 アポロニウスは、2 つの固定点までの距離の比が一定である点が円を形成することを示しました。内側と外側の 角の二等分線 は、比率を分割する 2 つの点でセグメントを切り取ります。これらの 2 点は、その円の直径の端になります。 平行線は三角形の辺を均等に切り取ります。補助三角形を使用すると、面積による証明が可能になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。 ユークリッドの証明は 角の二等分線 との類似を使用し、前のトピックのタレスの定理に戻ります。これは、原論 の結果がどのように相互にサポートされるかを示すもう 1 つの例です。
平行線の束は、2 つの横断線を比例した部分に切断します。これは、計算を行わずにボードを均等な部分に分割するという考えに基づいています。 発見者 その結果はミレトスの物語 (紀元前6世紀) と呼ばれ、伝統により影による大ピラミッドの高さの測定と関連付けられています（章の冒頭でそれについての好奇心を参照）。私たちが知っている実証はユークリッドの原論の命題VI.2 (c. 300 BC) にあるもので、三角形の面積を使用しています。この結果に対する「テイルズの定理」という名前は、ブラジル、ポルトガル、フランス、スペイン、イタリアなどの国々の伝統です。ドイツ語と英語では、同じ名前が半円に内接する角度を指します。 ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 タレスが定理を証明したという記録はありません。情報筋によると、彼は高さと距離を測定するために比例を使用したということです。ユークリッドの証明は不可分分にも機能する必要があり、そのため第 V 巻のエウドクソスの比例理論に基づいています。 この名前は 19 世紀末にフランスの教科書に載ったようで、そこからブラジルの教育に伝わりました。半円の角度をタレスに帰したものはさらに古く、ディオゲネス・ラエルシオに由来しています。 ディオゲネス・ラエルシオ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 日常生活での応用 板を均等な部分に分割します。 大工は、「丸い」寸法 (例: 30 cm ～ 5 部分) が端から端まで収まるまで板の上で巻尺を傾け、6 ～ 6 cm までのマークを付けます。マークは幅を均等な部分に分割します。 縮尺。 地図、モデル、平面図はオリジナルの比率を維持します。 譜表とグリッド。 等間隔の平行線は、傾斜した線を等分にカットします。 遠近感。 設計者は、図面内で離れて移動する柱や窓の間隔を比例的に配置します。 出典: Tales (MacTutor) · Elements、命題 VI.2 · Elements、book V。