同一性 とは、双方が意味をなすすべての値に対して成り立つ平等性です。アイデンティティを実証することは、三角法を操作するための素晴らしいトレーニングです。各ステップでは、すでに証明されている関係を使用します。 歴史 同一性を証明するには関数を短い形式で書く必要があります。 17 世紀まで、これは存在しませんでした。それぞれの関係は、「弧の補数の正弦」、「曲がった弧の正接」という言葉で表現され、一行の同一性が段落を占めていました。略語は少しずつ現れ、ギュンターは1624の図で罪を使用し、フランス人のピエール・ エリゴーヌは1634の本の中でそれを印刷し、イギリス人のウィリアム・ オートレッドは次のようなものを書きました。コサインのs co アーク。 入門 (1748) のオイラーは、sin.、cos.、tang. を量として使用することを確立しました。足し算、掛け算、二乗 — そしてこれを使用することで恒等式を代数式として操作できるようになります。 ウィリアム・オートレッドとは何者だったのか ウィリアム・ オートレッド (1574 – 1660) は、ほぼ生涯にわたり、ロンドンの南にある村、オルベリーの教区司祭でした。彼の趣味は数学で、自宅に来る人には誰でも無料で数学を教えていました。彼の生徒にはセント・ポール大聖堂の建築家クリストファー・レンや数学者のジョン・ウォリスも含まれていました。彼のクラヴィス数学 (1631) は、乗算のための記号 $\times$ を導入し、他の多くの記号を普及させました。 1622 頃、オーグトレッドは 2 つの対数ガンター スケールを並べて計算尺を発明し、1970 年に電子計算機が登場するまで技術者が使用していました。彼は1660年にイギリス王政が復活したことを知り、86歳で喜びのあまり亡くなったと言われています。 1620ギュンターは余弦と余接を提案しています。 1624ギュンターは図の中で罪という略語を使っています。 1626アルベール・ ジラールはタブレットにタンとセックを書きます。 1634エリゴーヌは罪を本に印刷します。 1657オートレッドは三角法で余弦の余弧を書きます。 1748オイラーは、sin.、cos.、tang. を数量記号として固定します。 オートレッドの計算尺: 互いに滑り合う 2 つの対数ガンター スケール。長さを加算することは、対数を加算すること、つまり乗算することです。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 出典: Oughtred (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)。 日常生活での応用 地図上の距離。 ナビゲーション アプリケーションは、短距離での丸め誤差を避けるために単位 $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ を使用するハバサイン式を使用して地表上の距離を計算します。 127Vソケット。 ソケットの電圧は正弦波のように振動します。アイデンティティ $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 平均二乗がピーク二乗の半分であることを示しています。したがって、127 V の「有効」は約 127 V のピークに相当します。 $127\sqrt{2} \approx 180$ v. 圧縮された写真と音楽。 JPEG および MP3 形式は、画像と音声をコサインの合計に分解します。三角恒等式は、この分解を元に戻すことができることを保証します。 プラグ電圧とその二乗: ダブル アーク恒等式は、180 V ピークが 127 V rms に値する理由を説明します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。
以前の投稿では、特に仮置、定理、系などを定義しました。定理を証明するには、 与えられた命題が真理値表を通して得られるトートロジーであることを意味します。以下に、結果を実証するためのいくつかの方法を紹介します。 演繹法 演繹的方法は、定義およびその他の事前に確立された結果を使用して得られます。このために、含意 $(\Rightarrow)$ と論理的二重含意 $(\Leftrightarrow)$ を使用します。 例 1: 次の文で、それが定理であるかどうかを示します。これについては、次のような仮説が考えられます。 $H_1$: 時は金なり。 $H_2$: お尻には時間がたくさんあります。 そして論文はこうだ。 $T$: トランプはたくさんのお金を持っています。 命題$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$は定理ですか? 次のように仮定してみましょう: $p$: 「時間があります」。 $q$: 「お金を持っています」。 $r$: 「ポンコツであること」。 と： $H_1$: $p\wedge q$ (時間とお金がある)。 $H_2$: $q\rightarrow r$ (お金があるということは、クズであることを意味します)。 $T$: $r\rightarrow q$ (ポンコツであるということは、お金があるということを意味します)。 これにより、次のような命題を書くことができます。 $$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$仮説 1 と仮説 2 はテーゼを意味します。 トートロジーはどのようにして成立するのか: $$(p\rightarrow q)\wedge (r \rightarrow p) \Rightarrow (r \rightarrow q)$$(時間があるということはお金があるということを意味します) そして(バズであるということは時間があるということを意味します) は(バズであるということはお金があるということを意味します)。 したがって、与えられた命題は定理です。 実際的な観点から見ると、この結果は意味を成さないかもしれませんが、使用されるステートメントによっては、不合理な結果に到達する可能性があります。 例 2: 次の文で、それが定理であるかどうかを示します。これについては、次のような仮説が考えられます。 $H_1$: 私はそう思う、だから私はそうである。 $H_2$: 石は考えません。 そして論文はこうだ。 $T$: 石は存在しません。 命題$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$は定理ですか?