補足資料 補足資料 ボルツァーノ、数学に逃げ込んだ司祭 ベルナール・ ボルツァーノ (1781 – 1848) は、 当時オーストリア帝国の一部であったプラハで生まれ、亡くなりました。彼はカトリックの司祭であり、宗教哲学の教授でしたが、平和主義者で社会秩序に批判的な彼の思想は教会と政府の不興を買いました。1819 に彼は教授職を失い、執筆活動をしながら離れて暮らし始めました。数学は彼の避難所となり、同時代人は彼の本をほとんど読まなかった。 ベルナルド・ボルツァーノ。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 1817 で彼はRein Analytischer Beweis (“Purely Analytical Proof”) を発表し、そこで図面に頼ることなく 区間内で符号を変える連続関数が相殺されること、つまり現在の中間値定理を実証しました。そのためには、 幾何学的直観に頼らない連続性の定義が必要でした。ボルツァーノは、フェリックス・クラインが彼を「算術演算の父」と呼ぶほど、分析における厳密さの必要性を早くから認識していました。彼とコーシーは面識はありませんでしたが、限界、連続性、収束について非常によく似た定義に到達しました。彼らの名を世に知らしめたのは、より権威のあるコーシーだった。 1834 では、 ボルツァーノは区間上で連続し、 そのどの点にも導関数がない関数を構築しました。この例は未公開であり、最終的に功績は数十年後にこれらの結果を再発見したヴァイエルシュトラス に与えられました。他の研究も同じ運命をたどりました。今日、 私たちはこれをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と呼んでいます。これは、無限の要素を含むすべての限定された集合が少なくとも 1 つの累積点を持つことを保証し、級数の収束基準の 1 つはコーシーにちなんで名付けられています。 遺作となった著書無限のパラドックス (1851) の中で、ボルツァーノは、0 と 1 の間には0 と 2 の間にあるのと同じくらい多くの実数があることを示しました - $x$ を $2x$ に関連付けるだけです - または同じ数の点1センチか2センチのセグメントで。ガリレオによる観察を再開すると、彼は無限集合をそれ自体の一部に対応させることができることを認めました。彼は、実数の無限性は整数の無限性とは別の種類であることを直観したようで、これを正確に実現できるのはカントールだけです。ボルツァーノが「砂漠で叫ぶ声」だったと言われるのも無理はない。 出典: ボルツァーノ (MacTutor) · バーナード ボルツァーノ (スタンフォード哲学百科事典)。