ギリシアの幾何学者たちは、角柱、角錐、円柱、円錐の体積を計算できた。球だけが手ごわかった。全二巻の論考『球と円柱について』で、アルキメデスはこの問題を解き、驚くほど簡単な関係を見いだした。 定理 赤道のように球の中心を通る円を大円と呼ぶ。アルキメデスは次のことを証明した。 球の表面積は大円の面積の四倍である。$S = 4\pi r^2$。 球の体積は、大円を底面とし半径を高さとする円錐の体積の四倍である。$V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$。 そしてそこから、彼をもっとも喜ばせた帰結を引き出した。球をちょうど包む、半径 $r$、高さ $2r$ の円柱を考える。その体積は $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$、二つのふたを含めた表面積は $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$ である。したがって $$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{円柱}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{球}}}{S_{\text{円柱}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$球の体積も表面積も、円柱の三分の二なのである。 『球と円柱について』のラテン語写本のページ、十三世紀。アルキメデスの著作がギリシア語からラテン語に訳された時代のものである。ラテン語写本、1270 年頃 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 缶のラベルのような表面 表面積の結果を見てとる方法があり、アルキメデス自身もそれを知っていた。球と円柱を、ごく近い二つの水平な平面で切る。そのあいだの球の帯は、円柱の帯と同じ面積をもつ。球が細いところでは帯がより傾いて、そのぶん幅が広くなり、二つの効果がちょうど打ち消しあうのである。すべての帯を足しあわせると、球の表面積は円柱の側面積 $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$ に等しくなる。