三角形は、幾何学の研究において最も頻繁に議論される幾何学図形の 1 つです。円との関係は、さまざまなジオメトリの結果を理解するための基礎です。これらの結果の一部は、三角形の注目点と呼ばれます。 三角形の相似性 プロポーションの投稿では、三角形の相似性の概念について説明しました。ここでは、三角形の相似性が円によって証明できることを示します。 円の中の三角形 補題 1: AB と CD を、円内の点 P で交差する円の異なる弦とします。それから $$\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{PD}{PB} $$ 2 つの接線エッジを持つ三角形 補題 2: 頂点角 P の 2 つの辺が点 A と点 B で中心 O の円に接する場合、$PA = PB.$ 接線と割線を持つ三角形 補題 3: 円 C の外側の点を P、点 B と C で P 割線を通り C に向かう直線、s を A での C の接線とします。 $$\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PA}{PC}$$ 2 つの割線を持つ三角形 補題 4: P を円 C の外側の点、r を点 A と B で P を通り C に割る直線、s を点 C と D で C に割る直線とします。 $$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$$
円の角度について学ぶのは基本です。この概念は、ユークリッドとピタゴラスやアルキメデスなどのギリシャ人一般によって広く取り上げられました。 弓 定義: $A$ と $B$ を平面上の円上の点とします。直線 $\vec{AB}$ (円弧) は、平面を 2 つの半平面に分割し、それぞれに円の一部が含まれます。 中心角 定義: $A$ と $B$ を中心面 $C$ 上の円の点とします。 $A$と$B$によって決定される中心角$\angle ACB$、または弦$AB$によって決定されます。 内接角 定義: $A$ と $B$ を中心面 $C$ 上の円の点とします。内接角$\angle ACB$は、すべての頂点が円上にあるときに求められます。 円弧の半分に相当する内接角 定理 1: 円に内接するすべての角度は、対応する円弧の半分の長さになります。 直角に相当する半円に内接する角 補題 1: 円において、内接角が半円を射影する場合、その尺度は $90^\circ.$ です。 投影内接角 系 1: 円において、2 つの内接角が同じ円弧を投影する場合、それらの寸法は同じになります。 これらの結果は、投稿の角度プロパティで説明した頂点の反対側の角度の法則が適用されることを示しています。 今のところはそれだけです。次の投稿をお待ちください。
幾何学に関する主な著作であるユークリッドの著書『要素』には、直線と円に関するいくつかの結果が含まれています。この投稿では、このテーマに関するいくつかの結果を示します。 基本設定 以下では、円を操作するための基本的な用語をいくつか定義します。 中心 定義 (中心): は、円上のどの点からも同じ距離にある点です。 レイ 定義 (半径): は中心から円周に向かう任意の直線セグメントです。 弦 定義 (弦): は、円上に 2 つの端がある任意の直線セグメントです。 直径 定義 (直径): は円の中心を通過する弦です。これはサークル内で最大のコードであることを覚えておく価値があります。この弦は半径の 2 倍に等しい。 $$D = 2R$$ 接線 直線や円を扱う場合は、いくつかのプロパティが必要です。そのうちの 1 つ目は接線です。 定義 (接線): 平面において、円に対する接線、つまり一点で切られたものを指します。この交点が接点(T)となります。 補題 1: 直線は、その点で終わる半径に対して垂直である場合にのみ、その点で円に接します。 割線 2 番目は割線です。 定義 (割線): 平面において、円に対する割線、つまり複数の点で切られたものを指します。 補題 2: 直線は、円と 2 つの点で交差する場合にのみ円に割られます。 提案された問題 角度が与えられた場合、角の二等分線 に中心があり (角度の頂点を除く)、その中心から角度の一方の辺までの距離に等しい半径を持つ円が (角度の) 両側に接していることを証明します。さらに、角の両側に接するすべての円の中心は 角の二等分線 にあり、2 つの接点を除いて円は角の内側にあります。 2 つの同心円が与えられた場合、大きい方の弦が小さい方の弦に接する場合、接触点は弦の中点であることを証明します。 2 つの円の位置 平面上に 2 つの円がある場合、それらに対する相対的な位置にはいくつかのプロパティがあります。この場合、3 個の状況が発生します。 円が交差します。 円は 1 点で交差します。 円は 2 点で交差します。 接円 定義 (接円): 平面上で、2 つの接円が 1 点で交差することを「2 つの接円」と呼びます。