ゲロン王よ、砂の数は無限だと考える人びとがいます。私はあなたに、私が名づけた数のなかには、大地を満たす砂の数ばかりでなく、宇宙を満たす砂の数をも超えるものがあることを示そうと思います。 — アルキメデス『砂粒を数える者』、ゲロン王への手紙 『砂粒を数える者』はヒエロン王の息子ゲロンにあてた手紙で、アルキメデスの本のなかでただひとつ、数学者でない読者のために書かれたものである。問題は、宇宙全体を満たすのに必要な砂粒の数より大きな数が存在することを証明することだった。 名前のない数 難しいのは計算ではなく、名づけることだった。ギリシアの記数法はアルファベットの文字を使い、実際にはミュリアス、つまり 10 000 までしか届かなかった。「ミュリアスのミュリアス」すなわち $10^8$ は、もう途方もない数だった。アルキメデスはその先へ進むことを提案した。 $10^8$ までの数を第一位とする。 $10^8$ を新しい単位として、$10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$ までの数を第二位とする。 以下同様にして第 $10^8$ 位まで進む。それは $\left(10^8\right)^{10^8} = 10^{800\,000\,000}$ で終わる。 これらすべての位が第一周期をつくる。アルキメデスはさらに周期を重ね、$10^{8 \cdot 10^{16}}$ にまで達した。要するに、底のべきを階段として使うという考えであり、科学的記数法の背後にあるのと同じ考えである。 宇宙の大きさ 宇宙を満たすには、その大きさを知らなければならない。アルキメデスは当時の天文学者が唱えたうちでもっとも大きな宇宙を選んだ。太陽を中心に置き、地球がそのまわりを回るとしたサモスのアリスタルコスの宇宙である。このモデルでは、一年を通じて恒星の見かけの位置のずれがまったく感じられないほど、恒星は遠くになければならなかった。 コペルニクス以前の太陽中心説 この問題についてのアリスタルコスの本は失われた。太陽を中心とする彼のモデルについて私たちが知っていることは、おもに『砂粒を数える者』のこの一節による。アルキメデスはここで、この仮説を最悪の場合として使うために要約しているのである。十八世紀のち、コペルニクスはアリスタルコスの考えを知っており、『天球の回転について』の手稿で彼に触れてさえいたが、その一節は印刷版では削られた。 それからアルキメデスは、いつも安全な側に大きく見積もりながら計算した。ケシの種一粒に砂粒がいくつ入るか、指の幅にケシの種がいくつ並ぶか、一スタディオン（およそ 180 m）に指の幅がいくつあるか、宇宙の直径に何スタディオンあるか。すべてを掛けあわせて、アリスタルコスの宇宙には $$10^{63} \text{ 粒}$$より少ない砂しか入らないと結論した。これは第一周期の第八位の数で、彼が考えだした体系の限界にはまだほど遠い。 なぜ王がそれを知りたがるのか この本は無限そのものについての授業である。多くの人は「とても大きい」と「無限」を混同していた。アルキメデスは、想像もつかないように見える量にも数があり、数学はそれに名前をつけ、それを超えることができると示している。同時にこの本は、太陽、月、地球の大きさ、さらにはアルキメデス自身による太陽の見かけの直径の測定など、当時の天文学の知識を集めてもいる。 練習：ミュリアス一ミュリアス、ミュリアスのミュリアス、そして第二位の最後の数を、10 のべきで書け。 一ミュリアスは $10^4$。ミュリアスのミュリアスは $10^4 \cdot 10^4 = 10^8$ で、第一位の終わりである。第二位は $10^8$ を単位とし、$10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$ まで続く。 練習：現代の数観測可能な宇宙にはおよそ $10^{80}$ 個の原子があると見積もられている。この数はアルキメデスの体系のどの位に入るか。 第 $k$ 位は $10^{8(k-1)}$ から $10^{8k}$ までである。$10^{80}$ については $8(k-1) < 80 \le 8k$、すなわち $k = 10$ で、$10^{80}$ は第一周期の第十位のちょうど最後の数である。砂を数えるためにつくられたアルキメデスの体系は、宇宙の原子を数えるにもまだ十分すぎるのである。