Hero Image
参考文献、図版の出典、そして本の終わりに

さらに読むために Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. Berlin: Springer, 1997. Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press, 1999. Ifrah, Georges. Histoire universelle des chiffres. Paris: Robert Laffont, 1994. Ascher, Marcia; Ascher, Robert. Code of the Quipu. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1981. Alder, Ken. The Measure of All Things: The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World. New York: Free Press, 2002. Einstein, Albert. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 49, 1916, pp. 769–822. Weil, André. Souvenirs d’apprentissage. Basel: Birkhäuser, 1991. Iverson, Kenneth E. A Programming Language. New York: Wiley, 1962. Iverson, Kenneth E. Notation as a tool of thought. Communications of the ACM, 23(8), 1980, pp. 444–465. Knuth, Donald E. Two notes on notation. American Mathematical Monthly, 99(5), 1992, pp. 403–422. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading: Addison-Wesley, 1989. 邦訳：『コンピュータの数学』共立出版。 Backus, John et al. The FORTRAN automatic coding system. Proceedings of the Western Joint Computer Conference, 1957, pp. 188–198. Stigler, Stephen M. Stigler’s law of eponymy. Transactions of the New York Academy of Sciences, 39, 1980, pp. 147–157. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 1985, pp. 21–29. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. D’Ambrosio, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. Gerdes, Paulus. Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington: Mathematical Association of America, 1999. Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang. Every planar map is four colorable. Illinois Journal of Mathematics, 21, 1977, pp. 429–567. Hales, Thomas et al. A formal proof of the Kepler conjecture. Forum of Mathematics, Pi, 5, 2017, e2. Moura, Leonardo de; Ullrich, Sebastian. The Lean 4 theorem prover and programming language. CADE 28, Springer, 2021. 図版の出典 図版 出典 ライセンス 秦九韶『数書九章』の算木の数字（1247） ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン 『ドレスデン絵文書』62 ページ、シルヴェイナス・モーリーによる複製 ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン リマのラルコ博物館のインカのキープ ウィキメディア・コモンズ CC BY 2.0、bobistraveling アナンの十進時間の文字盤（1793 年ごろ） ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン 1921 年のアルベルト・アインシュタイン、フェルディナント・シュムッツァー画 ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン Fortran の文が打たれたパンチカード ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン 朱世傑『四元玉鑑』の三角形（1303） ウィキメディア・コモンズ パブリックドメイン ケネス・O・メイ・メダルを受けるウビラタン・ダンブロジオ（2001） ウィキメディア・コモンズ CC BY-SA 4.0、ICHM 四色で塗られた地図 ウィキメディア・コモンズ CC BY-SA 3.0、Inductiveload 対話型の図（ひとつの数の三つの書き方と十進時間）は、このサイトの四つの言語すべてで動く。ダウンロードした図版の記録と各ファイルのハッシュは data/semiotica_imagens.json にある。

October 26, 2026 読んだ
Hero Image
記法と文化：手引きと用語集

この章は、記法を人と場所と道具の産物として読んできた。以下の手引きは、どんな記号についてもそうした読み方をする助けになる問いを集めたものである。 記法についての五つの問い どんな道具から生まれたか。 算木の盤、パンチカード、APL のキーボード、黒板。記号の形は、しばしば道具の形を保っている。 どの共同体が使っているか。 物理学者、技術者、プログラマー、市場の売り手。同じ文字が、$\log$ や $j$ のように、部族ごとにちがう意味をもちうる。 何に取ってかわったのか、そしてなぜか。 メートルは、商売が得をしたので地方の単位に取ってかわった。十進時間は、だれも得をしなかったので何にも取ってかわらなかった。 だれを締め出しているか。 どんな略記も、約束を知らない人に通行料を払わせる。多くの読み手のために書く人は、少なくとも一度は近道をほどく。 何を考えられるようにしているか。 赤と黒の算木は負の数を考えられるようにした。アイバーソンの括弧は数えることを和に変える。形式的な書き方は、機械が証明を確かめることを可能にする。 ひとつの記号をまるごと読む：プログラムの等号 スーパーマーケットのレジのプログラムにある total = total + price という行を考えよう。 道具： パンチカードと Fortran のキーボード。記号が少なく、式から等号を受けついだ。 共同体： プログラマー。彼らにとって等号は「しまえ」を意味する。数学者にとって、この行は $\text{price} = 0$ を強いる方程式である。 何に取ってかわったか： レジ係が商品ごとに手で行っていた「足して書きとめる」こと。 だれを締め出しているか： 等号は等しいことを主張するのだと、学校で習ったばかりの生徒。 何を考えられるようにしているか： 名前を時間とともに変わる箱として考えること。あらゆる反復アルゴリズムの土台である。 用語集 算木の数字。 計算盤を写した中国の数の書き方。算木が位ごとに縦と横を交互にとる。 二十進法。 各位が前の位の二十倍を表す体系。マヤが使い、ゼロのための専用の記号をもっていた。 キープ。 インカが十進の位取りで数を記録するために使った、結び目のある紐の集まり。 十進時間。 一日を 10 時間、1 時間を 100 分、1 分を 100 秒に分ける制度。フランス革命が 1794 年に押しつけ、1795 年に放棄した。 グラード。 直角が 100 になる角度の単位。電卓の GRAD モードとして生き残っている。 アインシュタインの規約。 ひとつの項に二度現れる添字について和をとることを暗黙のうちに示す規則。 床関数と天井関数。 $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数（アイバーソン）。 アイバーソンの括弧。 命題 $P$ が真なら $[P]$ は $1$、偽なら $0$。 代入。 名前に値をしまう命令。Fortran と C では x = x + 1、Algol と Pascal では x := x + 1、クヌースでは $x \leftarrow x + 1$。 スティグラーの法則。 どんな発見も最初の発見者の名前ではよばれない。スティグラーはこれをマートンのものとした。 エポニム。 定理や公式や対象に与えられた人名。「パスカルの三角形」など。 民族数学。 文化的な集団が学校の内外で数え、はかり、計算するしかたを研究する分野（ダンブロジオ）。 証明支援系。 形式言語で書かれた証明を一歩ずつ確かめるプログラム。Coq や Lean など。 練習：手引きを使う問い 1、2、5 を百分率の記号 $\%$ に当てはめよ。 道具： この記号は、イタリアの商売で per cento（百につき）を略したものから来ている。帳簿に手で書かれ、時とともに縮んで $\%$ になった。2. 共同体： 数学者より先に、商人や銀行家。5. 何を考えられるようにしているか： 分母のちがう比を、$100$ という共通の基準で比べること。$\frac{3}{8}$ と $\frac{7}{20}$ は比べにくいが、$37.5\%$ と $35\%$ はそうではない。

October 26, 2026 読んだ
Hero Image
定理につけられた名前：スティグラーの法則

定理や公式や数の名前は、記法のうちで、ほとんどだれも疑問に思わない部分である。私たちは「パスカルの三角形」「ペル方程式」「ロピタルの定理」と、名前が中立的なラベルであるかのように書く。そうではない。名前は、だれが、だれによって、どの言語で読まれたかを記録している。 自分で自分を確かめる法則 1980 年、アメリカの統計学者スティーヴン・スティグラーは、挑発的な法則をかかげた論文を発表した。どんな科学的発見も、最初の発見者の名前ではよばれない。そしてしめくくりに、その法則を、すでにこの現象を研究していた社会学者ロバート・K・マートンのものとした。つまりスティグラーの命名法則は、それ自身の一例なのである。大げさではあるが、居心地が悪いほどよく当たる。 たくさんの名前をもつ三角形 それぞれの数が上の二つの数の和になっている数の三角形には、1654 年にそれについての論文を書いたブレーズ・パスカルの名前がついている。しかしそれは、紀元 1000 年ごろのペルシアのカラジーやオマル・ハイヤームの本にすでにあり、10 世紀インドのハラーユダの注釈にも現れる。そして中国では、数学者楊輝が 1261 年にそれを発表し、二世紀前の賈憲のものとした。中国ではいまも楊輝三角とよばれ、イタリアではタルタリアの三角形、イランではハイヤームの三角形とよばれる。 朱世傑『四元玉鑑』（1303）に「古法七乗方図」の題で載っている三角形。数は八段めまで、算木の数字で書かれている。朱世傑 · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 上の朱世傑の三角形は、パスカルより 350 年前に描かれた。数がこの章の最初の文章の算木で書かれていることにも注意しよう。「パスカルの」という名前は、だれが最初に見たかを言っているのではない。世界の学校に届いた数学がヨーロッパのものであり、ヨーロッパ人が楊輝より先にパスカルを読んだ、と言っているのである。 何もしなかったペル 整数解を求める方程式 $x^2 - N y^2 = 1$ はペル方程式とよばれる。イギリスのジョン・ペルは、これとほとんど関係がない。インドのブラーマグプタが 628 年にそれを研究して解を組み合わせる規則を見つけ、バースカラ二世が 1150 年ごろ、すべての場合を解く方法、チャクラヴァーラ法を与えた。ヨーロッパでは、フェルマーが 1657 年に挑戦問題として出し、ウィリアム・ブラウンカーが解いた。ペルとブラウンカーを取りちがえてまちがった名前をつけたのはオイラーで、その名前がそのまま残ったのである。 買われた定理 $\frac{0}{0}$ の形の極限を、分子と分母を微分して求める定理には、ロピタル侯爵の名前がついている。彼はそれを 1696 年、最初の微分学の教科書で発表した。しかし結果は、彼の家庭教師だったヨハン・ベルヌーイのものだった。1694 年、二人は取り決めをしていた。ロピタルはベルヌーイに毎年年金を払い、そのかわりにベルヌーイの発見を受けとって好きなように使えるのである。この場合、記法は契約を記録している。 フィボナッチのウサギとインドの詩人たち 数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ には、1202 年にウサギの問題でそれを使ったフィボナッチの名前がついている。その何世紀も前に、ヴィラハーンカや、のちのヘーマチャンドラのようなインドの詩人や文法学者が、短い音節と長い音節で詩の一行を作る方法が何通りあるかを数えて、すでにそれを見つけていた。問いはリズムについてのもので、ウサギについてのものではなかった。 いまさら名前をかえることはできないし、望ましくもないかもしれない。名前は記号の一部であり、かえれば混乱を生む。しかし名前がどこから来たのかを知ると、名前が教えてくれることが変わる。たくさんの名前をもつ三角形は、数学が多くの場所で作られたことを教える教材でもある。 練習：朱世傑の最後の段朱世傑の三角形の最後の段は $(a+b)^8$ の係数を与える。それを書き、和を確かめよ。 $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$。和は $256 = 2^8$ で、どの段でもそうなる。$a = b = 1$ とおけば $(1+1)^8 = 2^8$ だからである。図で最後の段のまん中の $70$ を探してみよう。十の位の $7$ は算木の横式で書かれ、五を表す縦の一本と横の二本からできている。

October 26, 2026 読んだ
Hero Image
別の書き方、別の数学：算木、点、結び目

いま私たちが使う数の書き方が自然に見えるのは、それしか習わなかったからである。しかしほかの文化は、量を書き表し、それで計算するという同じ問題を、別のやり方で解いた。そしてそれぞれの解き方は、その文化が考えることのできたものに跡を残した。 中国の算木 二千年近くのあいだ、中国の数学者たちは算木で計算した。竹や骨や金属の小さな棒を、列に分けた盤の上に並べるのである。各列は十進のひとつの位で、1 から 5 までの数字は同じ本数の算木で表し、6 から 9 は五を表す一本にいくつかを加えて表した。となりの列と混ざらないように、算木の置き方は交互に変わった。一の位は縦、十の位は横、百の位はまた縦である。 秦九韶『数書九章』（1247）に算木の数字で書かれた計算。空いた位はすでに小さな丸、つまりゼロで示されている。秦九韶 · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 算木の記法は道具の記法である。それは盤を写している。空いた位は、算木のない列にすぎなかった。数が紙の上に移ると、それは空白になり、13 世紀には上のページのように小さな丸になった。 そして算木には色があった。紀元前後ごろにまとめられた『九章算術』は、「正」の数と「負」の数を使って連立方程式を解く方法を教えている。注釈者の劉徽は 263 年に、一方には赤い算木、もう一方には黒い算木を使い、それらを足したり引いたりする規則があったと説明している。ヨーロッパでは、それから千年以上たっても、負の数は「ばかげた数」と呼ばれていた。二色の道具が、一色のインクしかもたないヨーロッパの書き方がなかなか受け入れられなかったものを、考えられるものにしたのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 マヤの点と棒 中央アメリカのマヤの人々は二十ずつ数えた。点は一、棒は五を表し、1 から 19 までの数字は、棒を最大三本、点を最大四つ使って作った。位は下から上へ積み重ねられ、空いた位には貝のような専用の記号があった。4 世紀の碑文ですでに使われていた位取りのゼロであり、インドのゼロとは独立に生まれたものである。 『ドレスデン絵文書』の 62 ページ。残っている数少ないマヤの本のひとつで、シルヴェイナス・モーリーによる複製。数は点と棒で、黒と赤で、蛇のあいだに書かれている。Sylvanus Morley · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 暦の計算では、三番目の位は $20 \cdot 20 = 400$ ではなく、一年の日数に近い $18 \cdot 20 = 360$ を表した。この記法は天文学と祭祀に仕えていた。それを使いこなす神官たちは、日食や金星の周期を何世紀も先まで計算した。 インカの結び目 インカにはアルファベットの文字はなかったが、キープがあった。主となる紐から垂れ下がった何本もの紐に、いろいろな高さで結び目をつけたものである。1923 年、アメリカのリーランド・ロックは、多くのキープが十進の位取りで数を記録していることを示した。紐の上の結び目の高さが位を表し（一の位が下、十の位がその上、というように）、結び目の種類が数字を表した。キープを作り、読む専門家であるキープカマヨクは、帝国全体の人口調査、貢納、貯蔵をそこに保存していた。 リマのラルコ博物館にあるインカのキープ。垂れ下がった紐の一本一本が、結び目の位置と種類でひとつの数を保存している。bobistraveling · ウィキメディア・コモンズ · CC BY 2.0 残った六十進法 最後に、位取りの書き方のうちもっとも古いバビロニアのものは、私たちの書き方の中に生き残った。彼らは六十進法で数えた。だから 1 時間は 60 分、1 分は 60 秒、1 度は 60 分である。$1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ と言うとき、私たちは三けたの六十進数を書いているのである。

October 26, 2026 読んだ