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記法と文化：手引きと用語集

この章は、記法を人と場所と道具の産物として読んできた。以下の手引きは、どんな記号についてもそうした読み方をする助けになる問いを集めたものである。 記法についての五つの問い どんな道具から生まれたか。 算木の盤、パンチカード、APL のキーボード、黒板。記号の形は、しばしば道具の形を保っている。 どの共同体が使っているか。 物理学者、技術者、プログラマー、市場の売り手。同じ文字が、$\log$ や $j$ のように、部族ごとにちがう意味をもちうる。 何に取ってかわったのか、そしてなぜか。 メートルは、商売が得をしたので地方の単位に取ってかわった。十進時間は、だれも得をしなかったので何にも取ってかわらなかった。 だれを締め出しているか。 どんな略記も、約束を知らない人に通行料を払わせる。多くの読み手のために書く人は、少なくとも一度は近道をほどく。 何を考えられるようにしているか。 赤と黒の算木は負の数を考えられるようにした。アイバーソンの括弧は数えることを和に変える。形式的な書き方は、機械が証明を確かめることを可能にする。 ひとつの記号をまるごと読む：プログラムの等号 スーパーマーケットのレジのプログラムにある total = total + price という行を考えよう。 道具： パンチカードと Fortran のキーボード。記号が少なく、式から等号を受けついだ。 共同体： プログラマー。彼らにとって等号は「しまえ」を意味する。数学者にとって、この行は $\text{price} = 0$ を強いる方程式である。 何に取ってかわったか： レジ係が商品ごとに手で行っていた「足して書きとめる」こと。 だれを締め出しているか： 等号は等しいことを主張するのだと、学校で習ったばかりの生徒。 何を考えられるようにしているか： 名前を時間とともに変わる箱として考えること。あらゆる反復アルゴリズムの土台である。 用語集 算木の数字。 計算盤を写した中国の数の書き方。算木が位ごとに縦と横を交互にとる。 二十進法。 各位が前の位の二十倍を表す体系。マヤが使い、ゼロのための専用の記号をもっていた。 キープ。 インカが十進の位取りで数を記録するために使った、結び目のある紐の集まり。 十進時間。 一日を 10 時間、1 時間を 100 分、1 分を 100 秒に分ける制度。フランス革命が 1794 年に押しつけ、1795 年に放棄した。 グラード。 直角が 100 になる角度の単位。電卓の GRAD モードとして生き残っている。 アインシュタインの規約。 ひとつの項に二度現れる添字について和をとることを暗黙のうちに示す規則。 床関数と天井関数。 $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数（アイバーソン）。 アイバーソンの括弧。 命題 $P$ が真なら $[P]$ は $1$、偽なら $0$。 代入。 名前に値をしまう命令。Fortran と C では x = x + 1、Algol と Pascal では x := x + 1、クヌースでは $x \leftarrow x + 1$。 スティグラーの法則。 どんな発見も最初の発見者の名前ではよばれない。スティグラーはこれをマートンのものとした。 エポニム。 定理や公式や対象に与えられた人名。「パスカルの三角形」など。 民族数学。 文化的な集団が学校の内外で数え、はかり、計算するしかたを研究する分野（ダンブロジオ）。 証明支援系。 形式言語で書かれた証明を一歩ずつ確かめるプログラム。Coq や Lean など。 練習：手引きを使う問い 1、2、5 を百分率の記号 $\%$ に当てはめよ。 道具： この記号は、イタリアの商売で per cento（百につき）を略したものから来ている。帳簿に手で書かれ、時とともに縮んで $\%$ になった。2. 共同体： 数学者より先に、商人や銀行家。5. 何を考えられるようにしているか： 分母のちがう比を、$100$ という共通の基準で比べること。$\frac{3}{8}$ と $\frac{7}{20}$ は比べにくいが、$37.5\%$ と $35\%$ はそうではない。

October 26, 2026 読んだ
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部族の約束：アインシュタイン、ブルバキ、通の読み手

ある記法は、すべての数学者に同じように属しているわけではない。分野ごとに、ときには学派ごとに近道があり、外から来た人はそこでつまずく。これは欠陥ではない。生きた言語ならどれでもそうであるように、なまりや専門用語に分かれていくのである。だが、それは読み手や学ぶ人に影響を与える。 アインシュタインは和の記号を消す 1916 年、一般相対性理論を発表した論文で、アルベルト・アインシュタインは次のような式を何百も書かなければならなかった。 $$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$彼は、自分の式では、添字が下と上に一度ずつ、二度くり返されるとかならず和が現れることに気づいた。そこで読み手と取り決めをした。添字が二度現れたら和をとることにし、$\Sigma$ は書かなくてよい、と。上の式は $a_\mu b^\mu$ とだけ書かれる。 1921 年、ウィーンで講演するアルベルト・アインシュタイン。フェルディナント・シュムッツァー画。Ferdinand Schmutzer · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン アインシュタインは友人に冗談を言ったと伝えられている。「数学で大発見をした。二度現れる添字について和をとるときは、いつも和の記号を省くことにしたのだ。」冗談には真剣な中身がある。アインシュタインの規約は、いまでは相対性理論と微分幾何学の共通語である。物理学者は $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ を読むとき、そこに十六項の二重和が隠れているとは考えもしない。ほかの分野の学生には、二つの文字が見えるだけで、和はまったく見えない。 ブルバキの記号 1935 年から数学の基礎を書き直したフランスの集団数学者ニコラ・ブルバキのグループは、いまでは普遍的に見える跡を記法に残した。空集合の記号 $\varnothing$ は、ノルウェー語のアルファベットの文字 Ø を知っていたアンドレ・ヴェイユが、1939 年の『数学原論』第一巻のために選んだものである。そしてブルバキの本の余白には、交通標識の危険なカーブ ☡ があり、その部分には特別な注意がいることを読み手に知らせている。 ひとつの文字、いくつもの部族 $i$ か $j$ か。 数学者にとって $\sqrt{-1}$ は $i$ である。電気技術者にとっては $j$ である。$i$ はもう電流に使われていたからだ。両者は同じものを $3 + 4i$ と $3 + 4j$ と書く。 $\log$。 多くの数学者にとって $\log x$ は底 $e$ の自然対数である。技術者や電卓にとっては底 10、計算機科学者にとっては、ほとんどいつも底 2 である。三つの意味が、同じ年に出版された本の中に共存している。 $\langle \psi |$。 量子物理学者は、ポール・ディラックのかっこ（1939）で状態を書く。ブラ $\langle \phi |$ とケット $| \psi \rangle$ で、合わせてブラケット $\langle \phi | \psi \rangle$ になる。この記法は英語のかっこ（bracket）をもじったしゃれであり、同時に、ある種の計算をほとんどひとりでに書かせてしまう。 合言葉と境界 共同体の記法は、すでに中にいる人のインクを節約し、外にいる人に通行料を払わせる。それは合言葉である。和の記号なしに $a_\mu b^\mu$ と書く人は、自分が部族の一員であることを示す。よい啓蒙書やよい先生は逆の道をたどる。部族が言わずにすませていることを、少なくとも一度はすべて書き出すのである。

October 26, 2026 読んだ
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メートルは勝ち、十進時間は負けた

1793 年、フランス革命のさなか、国民公会は時間も十進にすると決めた。一日は 10 時間、1 時間は 100 分、1 分は 100 秒になる。時計職人たちは新しい文字盤を作り、人々が慣れるように、二つの目盛りを並べたものもあった。 時計職人アナンが国民公会に提出した紙の文字盤。新しい時刻をアラビア数字で、古い時刻をローマ数字で示し、比べられるようにしている。「新しい時刻と古い時刻の関係、国民公会により採択」。Hanin · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 十進時間は 1794 年の終わりに義務となり、1795 年 4 月に停止された。布告から十七か月後のことである。だれも家の時計をかえたがらず、教会の時計は十二を打ちつづけ、新しい時間には手間をつぐなうだけの実際的な利点が何もなかった。三十日の月を十日ずつの三つの「デカード」に分けた共和暦は、もう少し長く続いた。ナポレオンが 1806 年のはじめに廃止したのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 メートル 十進時間を葬ったのと同じ 1795 年の法律が、メートル法を生んだ。メートルは北極から赤道までの距離の一千万分の一と定められ、二人の天文学者、ジャン＝バティスト・ドランブルとピエール・メシャンは、それを決めるために 1792 年から 1798 年まで、ダンケルクとバルセロナのあいだの子午線の弧を測った。グラム、リットル、アールもいっしょに生まれ、すべてメートルに結びつき、すべて十で分けられた。 メートルが勝ち、時刻が負けたのは、メートルが現実の問題を解いたからである。フランスには、名前は同じで値のちがう地方ごとの単位が何百もあった。商売はそれに苦しみ、税を取り立てる国も同じだった。十進の体系は、換算を小数点を動かすだけのことにした。第1章で見た位取りと同じ利点である。それでも、フランスで義務となったのは 1840 年になってからだった。 ケブラ・キロスの反乱 ブラジルは 1862 年の法律でメートル法を採用し、切りかえに十年の猶予をおいた。1874 年、北東部の内陸の市場で新しい度量衡が強制されはじめると、パライバ、ペルナンブーコ、アラゴアス、リオ・グランデ・ド・ノルテの農民たちが役場や市場に押し入り、はかりやメートルの原器を打ちこわした。この反乱はケブラ・キロス、「キロこわし」として知られるようになった。ひょうたんや竿で売り買いしていた人々にとって、新しい記法はだまされる手段がまたひとつ増えたものとして、しかも新しい税といっしょにやってきたのである。 残ったグラード 革命家たちは角度も十進にしようとした。直角は 100 グラード（百分度）、一回りは 400 になる。この考えは時刻より幸運だった。何世代ものフランスの測量士や地図製作者に使われ、いまも関数電卓の GRAD モードとして、DEG や RAD と並んで現れる。しかし 360 と 60 分をもつバビロニアの度は、一歩も動かなかった。 教訓は、記法は論理的だというだけでは勝たない、ということである。それを使う共同体が切りかえで失うより多くを得るとき、そして押しつける側が使う側の信頼を得ているときに、記法は勝つ。 練習：十進の夕方ふつうの時計で 18 時は、十進時間では何時か。9 時はどうか。 18 時には一日の $\frac{18}{24} = 0.75$ がすぎている。十進時間では $0.75 \times 10 = 7.5$ 時間、つまり 7 時 50 十進分である。9 時は一日の $\frac{9}{24} = 0.375$、つまり 3 時 75 十進分である。十進の一日は十進法で書かれた分数なので、計算はやさしい。一日の $0.375$ は、そのまま 3 時 75 と読める。

October 26, 2026 読んだ
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だれも書かない約束

どんな書きことばにも、だれも習った覚えのない規則がある。日本語の横書きは左から右へ、縦書きは上から下へ読む。アラビア語は右から左へ読む。数学の書きことばにもこの種の規則があり、中には数学の真理のように見えるほど強いものもある。だがそうではない。それは約束、つまりほかのものでもありえた取り決めなのである。 演算の順序 $2 + 3 \cdot 4$ はいくつか。ほとんどだれもが $14$ と答える。まずかけ算、それから足し算。しかし数学の中に、この順序を強いるものは何もない。もし約束が「左から右へ」だったら、答えは $20$ になる。私たちの使う規則（累乗、次にかけ算と割り算、最後に足し算とひき算）は、16 世紀から 19 世紀の代数の本の中で少しずつ定着した。いちばんよく出てくる式でかっこを節約できるからである。$3x^2 + 2x + 1$ のような多項式は、ほかの規則では読めたものではない。 アメリカの生徒はこれを PEMDAS、イギリスの生徒は BODMAS と覚える。名前はちがっても約束は同じで、そこには、ときどき SNS に顔を出すすきまがある。 $$6 \div 2(1+2) = \ ?$$規則を文字どおりに当てはめ、かけ算と割り算のあいだでは左から右へ計算する人は、$6 \div 2 = 3$、それから $3 \cdot 3 = 9$ とする。かけ算が記号なしの暗黙のかけ算なので $2(1+2)$ をひとかたまりとして読む人は、$6 \div 6 = 1$ とする。どちらの読み方にも支持者がいて、科学論文の書式規定の中には二つめを好むものもある。大事なのは、どちらが正しいかを決めることではない。この式が書き方として悪いことに気づくことである。数学者は決してこう書かない。$\frac{6}{2}(1+2)$ か $\frac{6}{2(1+2)}$ と書き、疑問は消える。 ふるまいの悪い記号 $-3^2$。 累乗はマイナスの符号より先なので、$-3^2 = -(3^2) = -9$ である。$9$ を得るには $(-3)^2$ と書く。多くの電卓や表計算ソフトはこの約束に従うが、従わないものもある。 $\sin^2 x$。 これは $(\sin x)^2$ を意味する。かっこを一組節約する古い習慣である。ところが $\sin^{-1} x$ は逆関数 $\arcsin x$ を意味し、$\frac{1}{\sin x}$ ではない。同じ記号の上の同じ指数が二つの意味をもつ。第3章で見たとおりである。 $2a$ と $2\tfrac{1}{2}$。 数と文字を並べるとかけ算を意味する。$2a = 2 \cdot a$。帯分数を使う本で数と分数を並べると、足し算を意味する。$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同じ並べ方で、二つの演算。 $f(x+1)$ と $a(x+1)$。 前者は関数 $f$ の点 $x+1$ での値、後者は積である。かっこの前の文字が関数なのか数なのかは、文脈しか教えてくれない。 コンマとピリオド ブラジルでは $1{,}5$ は一・五で、$1.500$ は千五百である。アメリカではその逆で、$1.5$ が一・五、$1,500$ が千五百である。同じ書き方 $1.000$ が、ある国では千、別の国では一を表す。2003 年に国際度量衡総会は小数点としてコンマとピリオドの両方を認め、千ごとの区切りには細いスペースを使う、$1\,500$ のように書くことを勧めた。数が読み手の国によって変わらないようにするためである。

October 25, 2026 読んだ