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ナッシュ交渉解

古典的な経済問題に新しい扱いを与える。この問題は交渉や双方独占など、さまざまな形で現れる。 — ジョン・ナッシュ「交渉問題」（1950） 1948 年、まだカーネギー工科大学の学部生だったナッシュは、国際経済学の授業を受けました。彼が生涯で受けた唯一の経済学の授業です。そこから一つの問いを持ち帰りました。二人が交渉するとき、合意から生まれる利益をどう分けるのか。経済学者たちは、答えは双方の心理や手腕やはったりしだいで、一般には何も言えないと考えていました。ナッシュは、合意がいくつかのもっともな要請を満たさなければならないなら、ありうる答えは一つしかないことを示しました。論文はプリンストンに来る前に書かれ、1950 年に雑誌『エコノメトリカ』（Econometrica）に発表されました。 問題 二人、1 と 2 が合意を結べるとします。ありうる合意はそれぞれ、各自に効用で測った利得 $u_1$、$u_2$ をもたらします。合意しなければ、各自は元からもっていたものを保ちます。これが決裂点 $(d_1,d_2)$ です。合意に意味があるのは、各自に少なくとも合意しない場合と同じだけを与えるときだけです。 四つの要請 ナッシュは解に四つの性質を求めました。 効率性。 二人にとって同時によりよい別の合意があってはならない。 対称性。 状況が対称で、二人の可能性も決裂点も同じなら、二人の取り分は等しい。 不変性。 ある人の効用を別の尺度で測っても、セ氏をカ氏に換えるように、解は変わらない。 無関係な選択肢からの独立性。 ある問題の解がより小さな問題でも可能なら、それはやはり解である。だれも選ばない選択肢を取り除いても、合意は変わらない。 ナッシュの定理によれば、四つの性質をすべてもつ規則はただ一つです。決裂点からの利得の積 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$を最大にする合意を選ぶことです。 1000 円を分ける 二人が 1000 円を分けます。単位を 100 円として、合計を 10 としましょう。合意できなければ、だれも何も得られません：$d=(0,0)$。簡単のため、効用はお金そのものとします。1 が $x$ を受け取れば、2 は $10-x$ を受け取り、積は $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大は $x=5$ です。それぞれ 5、つまり 500 円ずつ。対称な場合なので、驚くことではありません。 よい代わりの選択肢をもつ人が多くを得る 今度は 1 に代わりの選択肢があるとします。合意できなくても、よそで 4 を得られ、2 は相変わらず何も得られません。決裂点は $(4,0)$ です。決裂点からの利得は $x-4$ と $10-x$ で、積は $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 決裂点からの利得の積 (x − 4)(10 − x)。x = 4 では 1 が合意から何も得ないので 0、x = 10 では 2 が何も得ないので 0 になる。最大値 9 は x = 7 にある。Euler’s Eyes 作図 最大は $x=7$ です。1 が 7、2 が 3 を受け取ります。どちらも合意しない場合より3 多く得ています。ナッシュ解は余剰を等分します。余剰とは、各自がすでに確保していた分を超えて合意が生み出す価値です。だから、よい代わりの選択肢をもつ人は多くを得るのです。それはただでもらえるものではなく、交渉の出発点なのです。

October 15, 2026 読んだ
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アーベル群：順序が問題にならないとき

靴下をはいてから靴をはくのと、靴をはいてから靴下をはくのとでは、結果がちがいます。3 を足してから 5 を足すのと、5 を足してから 3 を足すのとは同じです。二つの操作の順序を変えても結果が変わらないとき、それらは可換であるといいます。すべてが可換な構造を表すために数学者が使う言葉は、アーベルへの敬意を表したものです。アーベル的（abelian）です。 最後の論文 一般の 5 次方程式に公式がないことを証明したあと、アーベルはどんな方程式なら公式があるのかを知りたいと考えました。1829 年、『クレレ誌』に発表した最後の論文の一つで、彼は特別な種類の方程式を調べました。すべての根が、そのうちの一つ $x$ から、互いに可換な有理関数 $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ によって得られる方程式です。 $$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$アーベルは、こうした方程式がつねに累乗根で解けることを証明しました。それらはアーベル方程式と呼ばれるようになり、のちに、順序が問題にならない群がアーベル群と呼ばれるようになりました。 1 のべき根 最も重要な例は方程式 $x^n=1$ です。その根の一つは $$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$$で、ほかの根はすべてそのべき乗です：$\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$。ある根を別の根に移す関数はべき乗 $\theta_a(x)=x^a$ で、これらは可換です。 $$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$アーベルの定理により、$x^n=1$ はどの $n$ についても累乗根で解けます。これは、ガウスが正十七角形の作図に使ったのと同じ構造です。正多角形の頂点は $x^{17}=1$ の根なのです。 群と可換性 現代の言葉では、群とは、合成したり、取り消したり、組み合わせたりでき、しかもつねにその集まりの中にとどまる操作の集まりです。どの二つの元についても $a\circ b=b\circ a$ となるとき、その群はアーベル群です。 アーベル群の例はいたるところにあります。 整数と足し算：$3+5=5+3$。 円の回転：$30°$ 回してから $50°$ 回すのは、$50°$ 回してから $30°$ 回すのと同じ。 時計の算術：12 時間の時計で、9 時の 5 時間後は 2 時です。$9+5\equiv2\pmod{12}$ と書きます。ここでも足す順序は関係ありません。 アーベル群でない群もあります。三角形の対称性が最も小さな例です。三角形を回してから裏返すのと、裏返してから回すのとでは結果がちがいます。ルービックキューブも例です。前の面を回してから上の面を回すのは、その逆と同じ効果にはなりません。ガロアが 5 次方程式に公式がない理由を説明したのは、アーベル群でない群を調べることによってでした。 可換だとなぜ助かるのか アーベルの証明の背後にある直観は、アーベル群では操作を一つずつ、どんな順序でも行うことができ、一つの操作がほかの操作の成果をこわさない、ということです。各ステップは累乗根を一つとることに対応し、根は順番にとっていくことができます。五つの根の 120 通りの置換の群のように、アーベル群でなく、しかも複雑すぎる群では、ステップどうしが邪魔し合い、累乗根だけでは最後までたどり着けないのです。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 アーベルのぶどう 英語圏の数学者の間には古い冗談があります。「紫色で可換なものは何？ アーベルのぶどう。」英語で an abelian grape（アーベルのぶどう）が an abelian group（アーベル群）と似た音になるのです。「abelian」という形容詞はあまりにもよく使われるので、多くの本では小文字で書かれます。それは、ほんのわずかな数学者しか受けていない栄誉です。

October 16, 2026 読んだ
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伸ばさずに曲げる：埋め込み定理

紙を一枚取ってください。破らず、伸ばさずに、円柱に丸めることができます。紙の上でしなやかな定規で測った距離は変わりません。しかし、しわを作らずにボールを包むことはできません。紙と球面では内在的な幾何が違うのです。ガウスは 1827 年、この違い、すなわち曲率は、曲面を伸ばさずに曲げても変わらないことを証明しました。 19 世紀、ベルンハルト・リーマンはさらに大胆な考えをもちました。曲面や、任意の次元の空間を、どこにも描かずに、内側での測り方だけで記述しようというのです。必要なのは、どんな曲線の長さをどう測るかを決める規則、計量だけです。一般相対性理論はこうして時空を記述します。まわりにより大きな空間を置かず、内側から記述するのです。 問い では、抽象的なリーマン空間はどれも、ふつうのユークリッド空間（次元はとても高いかもしれません）の中に、内側で測った長さが描いたものの上での長さと一致するように描けるのでしょうか。この「ゆがみのない描き方」を等長埋め込みといいます。この問いは半世紀前からあり、幾何学者たちはきわめて難しいと考えていました。 1953 年ごろ、MIT で、幾何学者ウォーレン・アンブローズは若い同僚の傲慢さにいらだち、ナッシュに挑みました。そんなに優秀なら、これを解いてみろ。ナッシュは賭けに乗りました。 例：円柱 簡単な場合で、等長埋め込みとは何かを見てみましょう。平面の帯に座標 $(u,v)$ とふつうの計量 $ds^2=du^2+dv^2$ があるとします。変位 $du$、$dv$ の小さな曲線の長さは $\sqrt{du^2+dv^2}$ です。帯を半径 $R$ の円柱に巻きます。 $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$導関数は $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内積は $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$したがって円柱上でも $ds^2=du^2+dv^2$ で、帯の上とまったく同じです。巻くことは等長的です。曲面の上を歩くアリは何の違いにも気づかないでしょう。ただし注意してください。円柱をはさんで近くにある二点も、曲面に沿って歩けば遠いことがあります。埋め込みが保つのは曲面上の曲線の長さであって、空間を通る直線距離ではありません。 平坦トーラス 今度は難しい場合です。正方形の紙を取り、上の辺と下の辺を貼り合わせると円柱になります。次に円柱の両端を貼り合わせると、ドーナツ、すなわちトーラスになります。本物の紙でやると、しわが寄ります。ふつうのドーナツは外側で曲率が正、内側で負だからです。平らな正方形から作り、正方形の測り方を保ったトーラスを平坦トーラスといい、古典的な定理によれば、それは三次元空間に滑らかに、ゆがみなく描くことはできません。四次元ならゆがみなく収まりますが、三次元には収まりません。 ナッシュが証明したこと 1954 年、ナッシュは驚くべき結果を発表しました。埋め込みが一回だけ滑らかであればよい、つまり各点で接平面は定まるが曲率はなくてもよいなら、どんな曲面も三次元空間に等長的に置けるというのです。オランダのニコラース・カイパーが 1955 年に議論を完成させました。ナッシュ＝カイパーの定理により、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まります。その代償は、ひだの上にひだが重なり、尺度がどんどん小さくなる、フラクタルのようなきわめて奇妙な曲面です。 平坦トーラスの三次元空間への等長埋め込み。2012 年に Hevea プロジェクトが計算したもの。曲面はしだいに小さくなるひだの上のひだで覆われている。ここに見えているのは最初の三層。Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード · Wikimedia Commons · CC0 1956 年、ナッシュはアンブローズが持ち出した場合、すなわち完全に滑らかな埋め込みの場合を発表しました。どんなリーマン多様体も、十分高い次元のユークリッド空間に等長的に置けるのです。そのために彼は方程式を解く新しい技法を考案しました。各段階で、前の段階で失われた滑らかさを補正する逐次近似の方法です。この技法はのちにユルゲン・モーザーが改良し、ナッシュ＝モーザーの方法として知られるようになり、今日では天体力学や、幾何学とは何の関係もない微分方程式の問題で使われています。 くしゃくしゃの紙 ナッシュ＝カイパーの定理には、ばかげて聞こえる帰結があります。平らな一枚の紙を、伸ばさずに、いくらでも小さな球の中に入れられるのです。無限に細かいひだを許しさえすれば。2012 年、フランスのチーム、Hevea プロジェクトが、平坦トーラスのそのような埋め込みを初めて計算し、それがどんな姿かを示す画像を作りました。 練習問題：半径 R = 1 の円柱で、点 (1, 0, 0) と (−1, 0, 0) の間の曲面上の道の長さはいくらか。直線距離は？二点は $u=0$ と $u=\pi$、同じ $v$ に対応します。曲面上を歩けば、長さは帯の上と同じで $\pi\approx3.14$。円柱を横切る空間の直線距離は $2$ です。埋め込みが保つのは前者で、後者ではありません。

October 15, 2026 読んだ
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ニールス・ヘンリック・アーベルの遺産

アーベルは数学者たちに、百五十年分の仕事を残していった。 — シャルル・エルミートの言葉とされるもの アーベルが数学者として仕事をしたのは八年足らずでした。その間に、彼は代数学で最も古い問いに決着をつけ、級数に厳密さをもたらし、楕円関数を生み出し、死後何十年もたってようやく完全に理解された論文を書きました。今日、彼の名前は数学のほかのだれよりも多くの場所に見られます。アーベル群、アーベル積分、アーベル関数、アーベル多様体、アーベルの定理、アーベル総和法、アーベルの判定法。 パリの論文 アーベルが 1826 年にパリ科学アカデミーに提出し、コーシーがなくした著作には、巨大な結果がふくまれていました。どんな代数曲線についても、曲線に沿ったある種の積分の和は、曲線だけで決まる一定の個数の積分に帰着できる、というのです。その個数は、三十年後にリーマンが曲線の種数、つまり対応する曲面の「穴」の数と呼ぶことになるものです。今日この結果はアーベルの定理と呼ばれ、代数幾何学とリーマン面の理論はそこから育ちました。ルジャンドルはこの定理を知って、ラテンの詩人ホラティウスの言葉を借り、monumentum aere perennius、「青銅よりも長く残る記念碑」と呼んだと伝えられています。 原稿の物語はほとんど小説のようです。アーベルの死後、パリ駐在のノルウェー領事がアカデミーに原稿を探すよう頼みました。コーシーがそれを見つけ、1841 年に出版されましたが、誤りがありました。印刷のあいだに原本はまた消えてしまいました。それが見つかったのはようやく 1952 年、ノルウェーの数学者ヴィゴ・ブルンによって、フィレンツェの図書館で、あるイタリア人収集家の書類の中からでした。 記念碑と賞 オスロの王宮公園にある、グスタヴ・ヴィーゲラン作のアーベル記念碑。1908 年に除幕され、二つの怪物のような像の上に立つ裸の若者を表している。多くの人は、二つの像を彼が打ち負かした 5 次方程式と楕円関数と読む。Wolfmann · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 19 世紀の終わり、ノーベル賞に数学部門がないと知ったノルウェーのソフス・リーは、アーベルの名を冠した賞をつくることを提案しました。この案は、1899 年のリーの死と、1905 年のノルウェーとスウェーデンの分離によって勢いを失いました。それが再び取り上げられたのは、アーベル生誕二百年の 2002 年です。ノルウェー政府はアーベル賞を創設し、2003 年にフランスのジャン＝ピエール・セールに初めて授与しました。今日、それは数学のノーベル賞にあたるものとみなされています。2015 年にはジョン・ナッシュとルイス・ニーレンバーグに贈られました。 残ったもの 1929 年のノルウェーの切手。アーベルの没後 100 年を記念して発行された。ノルウェー郵便 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 代数学。 5 次の一般の公式の不可能性、アーベル方程式、可換な群。 解析学。 級数の厳密さ、任意の指数に対する二項級数、べき級数についてのアーベルの定理。 楕円関数。 積分の逆転、二重周期性、加法公式。ヤコビとともに。 代数幾何学。 代数関数の積分についてのアーベルの定理。リーマンの理論の根。 古典幾何学。 定規とコンパスによるレムニスケートの分割。円と同じ数について。 遅れて届いた手紙 アーベルの生涯は、すれちがいの書簡に彩られていました。ガウスが開かなかった小冊子、コーシーがなくした論文、死の二日後に届いたベルリンからの手紙。1830 年にパリ科学アカデミーが大賞を与えたとき、彼は亡くなって一年以上たっていました。ノルウェーでは彼の肖像が切手や 500 クローネ紙幣に描かれ、月のクレーターにも彼の名がついています。 覚えておきたいこと ニールス・ヘンリック・アーベルは 1802 年から 1829 年まで生きた。仕事はすべて 19 歳から 26 歳の間に行った。 5 次以上の一般の方程式には、累乗根による公式は存在しない。これがアーベル＝ルフィニの定理である。 二項級数 $(1+x)^m=1+mx+\cdots$ は $|x|<1$ で収束する。任意の $m$ についてこれを初めて証明したのはアーベルである。 積分 $\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ を逆にするとレムニスケート正弦が得られる。実と虚の二つの周期をもつ関数である。 レムニスケートの四分の一をそれぞれ二等分する点は、中心から $\sqrt{\sqrt2-1}$ の距離にある。作図可能な数である。 操作の順序が問題にならないとき、群はアーベル群である。群がアーベル群である方程式は累乗根で解ける。 出典： Arild Stubhaug、Niels Henrik Abel and his Times（Springer、2000）· アーベル賞、ノルウェー科学文学アカデミー · アーベルの伝記、MacTutor。

October 16, 2026 読んだ
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熱方程式とド・ジョルジ＝ナッシュの正則性

1900 年、パリの国際数学者会議で、ダフィット・ヒルベルトは、20 世紀の数学を導くと彼が考えた 23 の問題を発表しました。第 19 問題は、平たく言えばこう問いかけます。変分法の「性質のよい」問題の解は、いつも滑らかな関数か。半世紀たっても、ある重要な種類の方程式について、この問いは未解決のままでした。1956 年、ナッシュは同僚からこの問題を聞き、取り組むことにしました。 熱方程式 いちばん簡単な例から始めましょう。とても長い金属の棒の、点 $x$、時刻 $t$ における温度を $u(x,t)$ とします。熱は熱いほうから冷たいほうへ流れ、温度はフーリエの熱方程式に従います。 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$ここで $\kappa>0$ は物質の拡散率です。この方程式は、ある点の温度は、まわりの平均より低ければ上がり、高ければ下がる、と言っています。 時刻 0 にすべての熱エネルギーが一点に集中していれば、$t>0$ での解はガウス関数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}$$です。確かめましょう。$t$ で一回、$x$ で二回微分すると、 $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$両者は等しくなります。釣鐘形の曲線は時間とともに広がって低くなり、面積は 1 のままです。エネルギーは保存され、広がっていきます。幅は $\sqrt t$ に比例して増え、アインシュタインのブラウン運動で進む距離とまったく同じです。偶然ではありません。熱は分子の揺れであり、熱方程式は遠くから見たランダムウォークを記述しているのです。 物質が不規則なとき ガウス関数にはすばらしい性質があります。初めの温度が無限に集中した尖った山であっても、どんな $t>0$ でも解は完全に滑らかです。拡散はすべてをならしてしまいます。 では、物質が一様でなかったら？ 銅や木やガラスのかけらを無造作に貼り合わせ、かけらごとに熱の伝わり方が違う板を想像してください。方程式は $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$となり、熱伝導率 $a(x,t)$ はかけらからかけらへ急に跳ぶことがあります。求められるのは、二つの正の限界の間にあること、$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$ だけです。これほど不規則な係数では、解の公式はなく、解が導関数をもつかどうかさえはっきりしません。問いはこうです。温度は激しく変わりうるのか、それとも熱はやはりならすのか。 定理 ナッシュは 1957 年、熱はやはりならすことを証明しました。どんな次元でも、これらの方程式の解はヘルダー連続です。つまり、$\lambda$、$\Lambda$ と次元だけによる定数 $C$ と $0<\alpha\leq1$ があって、 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$物質がどれほど乱雑でも、温度は跳ぶことができません。ナッシュの証明はきわめて独創的でした。確率とエントロピーの考えを使い、熱を広がっていく質量として扱って、公式なしに解を制御したのです。この結果により、この種の方程式についてヒルベルトの第 19 問題は解決しました。

October 15, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 アーベルの肖像、ヨハン・ゲルビッツの素描、パリ、1826 年：元のページ · パブリックドメイン。 『クレレ誌』第 1 巻、ベルリン、1826 年：元のページ · パブリックドメイン。 フローランのアーベルの墓、Karl Ragnar Gjertsen 撮影：元のページ · CC BY 4.0。 オスロのアーベル記念碑、グスタヴ・ヴィーゲランの彫刻、Wolfmann 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図 レムニスケートを八つの等しい弧に分けた図はオリジナルの図です。点は、記事で導いた公式 $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ で計算しました。図には文字がなく、サイトのすべての言語で使えます。 記録 ファイル data/abel_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 追加した歴史図版 これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/abel_imagens.json に記録してある。 イェシュタの教会と牧師館（1890 年ごろ）: Peder Bentsen Melaas · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1929 年のノルウェーの切手: ノルウェー郵便 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ニールス・ヘンリック・アーベルの全トピック · ← ニールス・ヘンリック・アーベルの遺産

October 16, 2026 読んだ
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ジョン・ナッシュの遺産

統計的に見れば、66 歳の数学者や科学者が、研究を続けることによって以前の業績に多くを付け加えられるとは考えにくいだろう。しかし私はまだ努力を続けている。 — ジョン・ナッシュ、ノーベル財団のための自伝（1994） ジョン・ナッシュは、経済学と数学の二つの最高の栄誉であるノーベル賞とアーベル賞を、ともに受けたただ一人の人です。彼の仕事の二つの半分には、何の共通点もないように見えます。一方は人間の決定について、もう一方は曲面と方程式についてです。二つを結ぶのはスタイルです。だれもが不可能だと思っていた問題に、だれも思いつかなかったアイデアで挑むことです。 いたるところにあるゲーム理論 ナッシュ均衡は経済学の共通語になりました。同じ交差点の二つのガソリンスタンドがほとんど同じ値段をつける理由、だれも広告を出さなければ全員が得をするのに企業が広告を出す理由、気候の合意がこれほど難しい理由を説明してくれます。1990 年代、いくつもの国の政府が、携帯電話の周波数帯を、ゲーム理論で設計したオークションで売るようになり、数百億ドルを集めました。 生物学では、イギリスのジョン・メイナード＝スミスが 1970 年代に、進化もナッシュ均衡を生み出すことを示しました。集団の中で生き残る行動の戦略は、どんな突然変異も改善できない戦略なのです。政治学では、均衡は選挙や戦争や議会の投票を理解するのに役立ちます。計算機科学では、インターネットの経路制御や、デジタル市場のためのアルゴリズムの設計に現れます。1994 年以来、ノーベル経済学賞はゲーム理論の仕事に何度も与えられてきました。 純粋数学 埋め込み定理とナッシュ＝モーザーの方法は、幾何学と解析学を変えました。ナッシュが $C^1$ の場合のために考案した技法は、ロシアのミハイル・グロモフが凸積分と名づけたもので、「剛性と柔軟性」の現象という一つの分野全体を生み出し、2018 年には流体の乱流に関するラルス・オンサーガーの予想の証明に使われました。ド・ジョルジ＝ナッシュの定理は、複合材料や多孔質の媒質を記述する、不規則な係数をもつ微分方程式の現代理論の土台です。 病と回復 ナッシュは精神疾患についての教訓も残しました。三十年の間、彼は終わった人と見なされていました。ゆっくりとした部分的な回復は、統合失調症が必ずしも最終的な宣告ではないことを示しました。ノーベル賞のあと、彼とアリシアはよりよい治療と偏見の減少を訴えるようになりました。二人の息子ジョン・チャールズも数学者で、統合失調症を患っていました。 残ったもの ゲーム理論。 あらゆる種類のゲームに対するナッシュ均衡、混合戦略での存在、そして交渉解。 盤上ゲーム。 ヘックス、戦略盗用論法、そして不動点定理とのつながり。 幾何学。 $C^1$ と滑らかな場合の等長埋め込み定理、そして凸積分。 解析学。 ド・ジョルジ＝ナッシュの定理と、非線形方程式のためのナッシュ＝モーザーの方法。 応用科学。 経済学、進化生物学、政治学、オークション、計算機科学。 NSA への手紙 1955 年、ナッシュはアメリカ国家安全保障局（NSA）に手紙を書き、暗号方式を提案しました。2012 年になってようやく公開されたその手紙で、彼は、暗号を破るのにかかる時間が鍵の長さとともに指数関数的に増え、使うのにかかる時間はわずかしか増えないなら、その暗号は安全だと論じています。これはまさに現代の暗号の基礎にある考えであり、ナッシュはそれが計算の理論に現れる二十年近く前にこれを述べていたのです。 覚えておきたいこと ジョン・ナッシュは 1928 年から 2015 年まで生きた。おもな仕事は 20 歳から 30 歳の間に、プリンストンと MIT で行った。 ヘックスには引き分けがなく、先手はいつでも勝てる。これが戦略盗用論法である。 ナッシュ均衡では、だれも一人で変えて得をすることはない。囚人のジレンマのように、均衡が全員にとって悪いこともある。 すべての有限ゲームには混合戦略の均衡がある。指の偶奇当てでは、各自が 50% の確率でくじを引く。 ナッシュ交渉では、決裂点からの利得の積を最大にし、各自は決裂点の利得に余剰の一部を加えたものを受け取る。 どんなリーマン多様体もユークリッド空間にゆがみなく描ける。一階の滑らかさだけでよければ、平坦トーラスでさえふつうの空間に収まる。 不規則な物質の中でも、熱はならす。解はヘルダー連続である。 出典： Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）· ジョン・ナッシュの自伝、ノーベル財団 · ナッシュの NSA への手紙（1955）、2012 年に同局が公開。

October 15, 2026 読んだ
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写真と画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ジョン・ナッシュの肖像、Peter Badge 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 2006 年のジョン・ナッシュ、ケルンにて、Elke Wetzig 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 平坦トーラスの等長埋め込み、Hevea プロジェクト、Romainbehar によるアップロード：元のページ · CC0。 ブログの図 表紙、ヘックスの盤、交渉における利得の積のグラフはオリジナルの図で、サイトの各言語の版があります。盤は架空の対局を示しており、赤が列を完成させています。 記録 ファイル data/nash_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ジョン・ナッシュの全トピック · ← ジョン・ナッシュの遺産

October 15, 2026 読んだ
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コーシーの遺産

コーシーは狂っていて、彼とはどうにも話が通じない。それでも、いま数学をどうやるべきかを知っているのは彼なのだ。 — ニールス・ヘンリク・アーベル、ホルンボエへの手紙（1826） コーシーはおよそ 800 編の論文と七冊の本を出版した。科学アカデミーが編集した『全集』は、1882 年から 1974 年にかけて、分厚い 27 巻で刊行された。数学者のなかで、これに匹敵する量の仕事を残したのは、オイラーとごくわずかな人だけである。 彼の名を冠するもの コーシー列と、収束についてのコーシーの判定条件。カントールによる実数の定義の土台である。 べき根判定法、凝集判定法、二つの級数のコーシー積。 コーシー＝シュワルツの不等式と、平均の不等式のコーシーによる証明。 ロピタルの定理を正当化するコーシーの平均値の定理。 コーシー＝リーマンの方程式、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、留数定理。 コーシーの主値。やっかいな点のまわりを対称に切りとることで、$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ のような積分に意味を与える。 微分方程式のコーシー問題。初期値が解を決めるかを問う。そして、解析関数についてそれに答えるコーシー＝コワレフスカヤの定理。 固体力学のコーシーの応力テンソルと、光学のコーシーの分散公式。 行列式のコーシー＝ビネの公式と、有限群についてのコーシーの定理。 凸多面体についてのコーシーの剛性定理。 『解析教程』で研究されたコーシーの関数方程式 $f(x + y) = f(x) + f(y)$。 確率論のコーシー分布。アニェージの曲線の形をしていて、平均をもたない。 厳密さ もっとも大きかったのは態度の変化である。コーシー以後、解析学の結果は、明確な定義から証明されてはじめて認められる。そしてその定義は彼のものである。極限、収束、連続、導関数、積分。次の世代のワイエルシュトラス、デデキント、カントールがこの仕事を完成させ、一様収束のように、コーシーが直観を信じすぎたところを正した。しかし彼らが改修した建物は、コーシーのものだった。 ルイ・グレゴワールとドヌーによるコーシーの石版画、1840 年ごろ。下に数学者の署名がある。Louis Grégoire、Deneux · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 人物 同時代の人びとは、彼を信心深く、貧しい人に気前がよく、疲れを知らず、そしてほとんどつきあいようのない人物として描いた。政治と宗教では一歩もゆずらず、同僚を改宗させようとし、発見の優先権を激しく争い、アカデミーの査読者としては手きびしかった。アーベルとガロアには彼に不満をもつ理由があったし、技師ジャン＝ヴィクトル・ポンスレは、射影幾何学についての自分の考えを横取りしたと彼を非難した。その一方で、彼はひとつの誓いへの忠誠のために経歴を危険にさらし、信念を裏切るよりはと八年間パリを離れた。コーシーの生涯では、科学者と、信仰と党派の人とを切り離すのはむずかしい。 ゆかりの場所 コーシーは、1889 年にギュスターヴ・エッフェルがエッフェル塔に名前を刻ませた 72 人のフランスの科学者・技術者のひとりである。月の静かの海にはコーシーというクレーターがあり、パリ、ソー、そしてフランスのほかのいくつもの町に彼の名のついた通りがある。 エッフェル塔の南東面に刻まれたコーシーの名。ギュスターヴ・エッフェルが顕彰した 72 人の科学者のひとり。Juanedc · ウィキメディア・コモンズ · CC BY 2.0 演習：コーシーの関数方程式『解析教程』でコーシーは、すべての $x, y$ について $f(x + y) = f(x) + f(y)$ をみたす連続関数は $f(x) = cx$ の形のものだけであることを証明した。その議論をたどり直せ。 $c = f(1)$ とおく。$x = y = 0$ とすると $f(0) = 2f(0)$ なので $f(0) = 0$。くり返し足すと、すべての正の整数 $n$ について $f(n) = nf(1) = cn$ で、$f(x) + f(-x) = f(0) = 0$ から負の整数でも成り立つ。正の整数 $q$ について、$c = f(1) = f\!\left(q \cdot \frac{1}{q}\right) = q\,f\!\left(\frac{1}{q}\right)$ だから $f\!\left(\frac{1}{q}\right) = \frac{c}{q}$、さらに $f\!\left(\frac{p}{q}\right) = c\,\frac{p}{q}$。公式はすべての有理数で成り立つ。どの実数も有理数の極限であり、$f$ は連続だから、すべての $x$ で $f(x) = cx$ である。

October 31, 2026 読んだ