ロバート・レコードは 1557 年に $=$ を発明した。理由は簡単で、同じ長さの二本の平行線ほど等しいものはない、というものだった（この話は第1章の演算記号の文章で述べた）。この記号はあまりにうまく広まったので、今ではレコードが想像もしなかった仕事をしている。次の式を見てほしい。 $$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$記号はどれも同じだ。言っていることは同じではない。 $3+4=7$ では、等号は結果を記録する。電卓が教える読み方である。 $2x+1=7$ では、等号は問いを立てる。どの数ならこれが正しくなるか。方程式である。 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ では、等号は法則を述べる。すべての数について成り立つ。恒等式である。 $f(x)=x^2$ では、等号は名前をつける。ここから先、$f(x)$ は $x^2$ を意味する。定義である。 $\frac12=\frac24$ では、等号は二つの異なる書き方が同じ数を指していると言う。 この章のあとの文章で、これらの仕事を一つずつ扱う。その前に、これらに共通するものは何かを問うておこう。 等号の三つの法則 紀元前 300 年ごろ、ユークリッドは『原論』の冒頭にいくつかの「公理（共通概念）」を置いた。証明するまでもないほど明らかだと彼が考えた真理である。その第一はこうだ。 同じものに等しいものどうしは、互いに等しい。 — ユークリッド『原論』第1巻、公理1 今日この文は推移律と呼ばれる。$A=B$ かつ $B=C$ ならば $A=C$。ほかの二つと合わせて、どんな等しさにも当てはまる肖像ができる。 性質 記号で ことばで 反射律 $A=A$ どんなものも自分自身に等しい 対称律 $A=B$ ならば $B=A$ 天秤にはひいきの側がない 推移律 $A=B$ かつ $B=C$ ならば $A=C$ 同じものに等しいものどうしは互いに等しい 計算を $A=B=C=D$ のようにつなげ、最初の項が最後の項に等しいと言えるのは、この三つの法則のおかげだ。学校の代数はすべてこれに頼っているのに、声に出して言われることはほとんどない。 等号の親戚たち 等号の仕事のどれかが十分に重要になると、数学はそれに専用の記号を与えた。その結果、似た記号の一家ができあがった。それぞれに読み方がある。 記号 読み方 例 対称律は成り立つか $=$ 等しい $3+4=7$ はい $\equiv$ 恒等的に等しい；合同である $\sin^2x+\cos^2x\equiv1$；$17\equiv2\pmod5$ はい $:=$ と定義する $f(x):=x^2$ いいえ：新しい名前はいつも左側 $\approx$ ほぼ等しい $\pi\approx3.14$ はい $\cong$ 合同である（図形） $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ はい $\sim$ 相似である $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ はい $\Leftrightarrow$ 同値である（命題） $2x=6\Leftrightarrow x=3$ はい 最後の列に注目しよう。$:=$ は対称ではない。$x^2=:f(x)$ と書くこともできるが、そのときは記号の形が変わり、新しい名前がいつもコロンの隣にくる。そしていかにも無害に見える $\approx$ には、最初の練習問題が示す罠がある。推移律が成り立たないのだ。