20 世紀のはじめ、数学者たちは数学全体をただ一つの概念、集合から組み立てようとしていた。だが、その言葉で言えば、数 $3$ とは何なのか。ゲオルク・カントールは「順序数」、つまり列の中の位置をはかる数について語っていた。一番目、二番目、三番目、そして有限のものすべての後に、最初の無限の順序数 $\omega$ が来る。足りなかったのは、これらの数が集合として何であるかを言うことだった。 1923 年、19 歳のフォン・ノイマンは短い論文『超限数の導入について』を発表した。その答えはあまりに簡潔だったので、標準の定義となった。 各数はそれより前の数の集合である 規則は一つしかない。順序数とは、それより小さい順序数すべての集合である。何もないところから始めると、 $$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$一般に、ある数の後者は、その数自身に自分自身を付け加えたものである。 $$n + 1 = n \cup \{n\}.$$この定義からは三つのことがただで手に入る。 数 $n$ はちょうど $n$ 個の要素をもつ。$3$ の要素は $0$、$1$、$2$ である。$n$ まで数えるとは、$n$ の要素をたどることだ。 「より小さい」は「属する」になる。$m < n$ は $m \in n$ を意味する。さらに「含まれる」でもある。$2 \subset 3$。 すべては空集合からつくられる。数の存在を仮定する必要はない。数は波括弧から製造されるのだ。 無限の先へ 同じ規則はそのまま続く。すべての自然数の集合 $$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$は最初の無限順序数である。これもそれより小さい順序数すべての集合であり、前のものとまったく同じだ。続いて $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$、次に $\omega + 2$ と進み、$\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$ …… へと至る。カントールはこの階段を描いた。フォン・ノイマンは、その一段一段に具体的な構成を与えたのである。
集合論には、公理理論と素朴理論という 2 つの研究領域があります。公理的翼は、オブジェクトのコレクションとしてのセットの非公式な理解に依存しています。 19 世紀末によく開発された素朴なアプローチは、命題、補題、定理、および帰結を伴う実証可能な形式として集合を扱います。集合論は数学、特に次のような現代理論において非常に重要です。 数字 関係 機能 仕様公理 公理は数学の基礎です。ただし、集合に対するあらゆる演算がラッセルのパラドックスなどのパラドックスにつながる可能性があると仮定すると。公理理論は、セットにどの演算が許可されるかを決定する際の基礎でした。 仕様公理によれば、集合 $A$ が存在し、この集合の要素をプロパティで記述できる場合、これらの要素を含む $A,$ の部分集合である集合 $B$ が存在します。 仕様公理: $A$ を集合、$p(x)$ を $x$ の命題とし、量指定子と変数の観点から次のように表現する必要があります。 量指定子: $\wedge, \vee$ など 変数: $x, y, A, B, dots$ 次に、$p(x)$ を true にする $A$ のすべての要素 $x$ の一貫性を生成するセットがあります。より具体的には $$\\{x \in A; ~p(x) ~\text{é verdadeira}\\}$$ この公理はリチャードのパラドックスなどの意味論的なパラドックスを回避するために非常に重要です。リチャードのパラドックスで説明されている集合は、仕様公理からは構築できません。これは、公理の性質が論理演算子と一部の量指定子に制限されているためです。 ラッセルのパラドックス この公理のもう 1 つの興味深い応用例は、次のことを保証することです。 すべての集合を含む集合は存在しないということです。 。したがって、B /∈ U、つまり、 宇宙セット。この結論に至った議論はパラドックスと呼ばれます ラッセル著、 ラッセルのパラドックスは、集合論のいくつかの特性を理解するために非常に重要です。これから、仕様公理を適用して、すべての集合を含む集合は存在しないことを示すことができます。ラッセルの議論に注目してください。 ラッセルのパラドックス: ある街に、自分で毛を剃らない男性だけを剃る理容師がいます。床屋の髭を剃るのは誰ですか? これにどう対応すればよいでしょうか? すべての要素が集合である集合、つまり宇宙集合があるとします。 $U$ をユニバースセットとします。 したがって、仕様公理から、セットを構築できます。 $$B = \\{x \in U; x\notin x\\}$$目的は if$B\in U.$ をチェックすることです。これにより、2 つの可能性が考えられます。