126 Calcule $\operatorname{sen} 15^\circ$, $\cos 15^\circ$ e $\operatorname{tg} 15^\circ$. Ver a resolução$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$. Calculemos $\ell_{12}$: seja $Q$ um vértice do hexágono regular inscrito e $P$ o ponto médio do arco de um lado do hexágono, de modo que $PQ = \ell_{12}$. O raio $OP$ corta o lado do hexágono no seu ponto médio $R$, perpendicularmente. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. No triângulo $PQR$, retângulo em $R$: $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$(pois $OR$ é a altura do triângulo equilátero de lado 1). Então $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$Observação: no capítulo VI veremos que esses valores também se escrevem $\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ e $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.
Verificaremos que as funções circulares dos reais $x = \dfrac{\pi}{n}$, com $n \in \mathbb{N}$ e $n \ge 3$, podem ser calculadas a partir de $\ell_n$, o lado do polígono regular de $n$ lados inscrito no ciclo. A história No livro I do Almagesto, Ptolomeu construiu a sua tábua de cordas exatamente assim: partiu dos lados dos polígonos regulares inscritos — triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e decágono —, que a geometria de Euclides sabia calcular, e obteve os outros arcos por meio de fórmulas de soma, diferença e metade de arcos, que veremos no capítulo VI. A corda de um arco $2\alpha$ num círculo de raio $R$ é $2R\operatorname{sen}\alpha$: o teorema deste capítulo é a tradução moderna dessa ideia.