Leitura complementar Leitura Bolzano, o padre que se refugiou na matemática Bernard Bolzano (1781–1848) nasceu e morreu em Praga, então parte do Império Austríaco. Foi padre católico e professor de filosofia da religião, mas suas ideias — pacifistas e críticas à ordem social — desagradaram à Igreja e ao governo: em 1819 ele perdeu a cátedra e passou a viver afastado, escrevendo. A matemática virou o seu refúgio, e os seus contemporâneos quase não a leram. Bernard Bolzano.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público Em 1817 publicou a Rein analytischer Beweis (“Prova puramente analítica”), em que demonstra sem apelar para desenhos que uma função contínua que muda de sinal num intervalo se anula nele — o atual teorema do valor intermediário. Para isso precisou de uma definição de continuidade que não dependesse da intuição geométrica. Bolzano percebeu tão cedo a necessidade de rigor na análise que Felix Klein o chamaria de “pai da aritmetização”. Ele e Cauchy nunca se encontraram, mas chegaram a definições muito parecidas de limite, continuidade e convergência; foi Cauchy, com mais prestígio, quem as tornou conhecidas. Em 1834, Bolzano construiu uma função contínua num intervalo e sem derivada em nenhum ponto dele. O exemplo ficou inédito, e o mérito acabou indo para Weierstrass, que redescobriu esses resultados décadas depois. O mesmo destino tiveram outros trabalhos: hoje chamamos de teorema de Bolzano-Weierstrass o que garante que todo conjunto limitado com infinitos elementos tem pelo menos um ponto de acumulação, e um dos critérios de convergência de séries leva o nome de Cauchy. No livro póstumo Paradoxos do infinito (1851), Bolzano mostrou que há tantos números reais entre 0 e 1 quanto entre 0 e 2 — basta associar $x$ a $2x$ —, ou tantos pontos num segmento de um centímetro quanto num de dois. Retomando uma observação de Galileu, aceitou que um conjunto infinito pode ser posto em correspondência com uma parte de si mesmo. Parece ter intuído que o infinito dos números reais é de outra espécie que o dos inteiros, ideia que só Cantor tornaria precisa. Não é à toa que se diz que Bolzano foi “uma voz clamando no deserto”.