Cálculo

A derivada e a integral

Dois anos depois do Curso de análise, Cauchy publicou o Resumo das lições dadas na Escola Real Politécnica sobre o cálculo infinitesimal (1823). Em quarenta lições curtas, reconstruía o cálculo diferencial e integral com a ideia de limite. É, na essência, o roteiro que os livros de cálculo seguem até hoje. A derivada Para Lagrange, a derivada de $f$ era o coeficiente de $i$ na série de potências de $f(x + i)$. Cauchy a definiu como um limite:

October 31, 2026 Iniciar leitura

O Método e o palimpsesto

Os livros de Arquimedes apresentam demonstrações perfeitas, mas não dizem como ele chegou aos resultados. Durante séculos, os matemáticos suspeitaram que ele tinha um método secreto. Tinham razão, e o método foi encontrado no lugar mais improvável. A carta a Eratóstenes Algumas coisas ficaram claras para mim primeiro por um método mecânico, e depois tiveram de ser demonstradas pela geometria, porque a investigação por esse método não fornece uma demonstração. Mas é mais fácil encontrar a demonstração depois de adquirir, pelo método, algum conhecimento das questões do que sem conhecimento nenhum. — Arquimedes, O Método, carta a Eratóstenes

October 29, 2026 Iniciar leitura

O legado de Johann Bernoulli

Johann Bernoulli não escreveu um grande livro, como o irmão escreveu a Ars conjectandi ou Newton os Principia. O seu livro mais famoso saiu com o nome de outro. O que ele deixou foi um jeito de trabalhar: transformar cada problema de física ou de geometria numa equação e resolvê-la com o cálculo de Leibniz. E deixou alunos. O campeão de Leibniz Na disputa sobre quem tinha inventado o cálculo, Newton ou Leibniz, Johann foi o soldado mais combativo do lado de Leibniz. Quando a Royal Society, presidida por Newton, publicou no começo de 1713 um relatório dando a prioridade a Newton, Leibniz respondeu com uma folha anônima, a Charta volans, que citava o julgamento de “um matemático eminente”: era Johann. Nos anos seguintes, Johann desafiou os matemáticos ingleses com problemas difíceis, que considerava impossíveis com o método de Newton. Leibniz morreu em 1716, e Johann continuou a briga sozinho por anos. A disputa separou a matemática inglesa da do continente por quase um século.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Os números de Bernoulli: somar mil potências em sete minutos

Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

October 11, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Johann Bernoulli, gravura do acervo do Rijksmuseum: página de origem · CC0. Retrato de Guillaume de l’Hôpital: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Analyse des infiniment petits, Paris, 1696: página de origem · domínio público. Retrato de Daniel Bernoulli, gravura de Johann Jakob Haid segundo Johann Rudolf Huber: página de origem · domínio público. A corrente e o arco, desenhos de Giovanni Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, 1748: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o diagrama da cicloide e da reta entre os mesmos pontos são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama está em escala: os dois eixos têm a mesma unidade. A tabela das notações de função, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de funções deste site.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O legado de James Bernoulli

James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Jakob Bernoulli, pintado em 1687 pelo irmão Niklaus Bernoulli: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Ars conjectandi, Basileia, 1713: página de origem · domínio público. Lápide de Jakob Bernoulli no claustro da catedral de Basileia, foto de Wladyslaw Sojka: página de origem · Licença Arte Livre. Corte de uma concha de náutilo, foto de Florian Elias Rieser: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, o desenho das duas espirais e o gráfico da proporção de caras em lançamentos simulados de uma moeda são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. A tabela das notações da integral, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de cálculo deste site.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O legado de Leibniz

A guerra do cálculo Leibniz publicou o cálculo em 1684 e 1686. Newton tinha chegado às mesmas ideias em 1665–1666, mas guardara tudo em manuscritos. Durante quinze anos, ninguém disputou nada. Em 1699, o matemático suíço Nicolas Fatio de Duillier, amigo de Newton, insinuou num livro que Leibniz tinha se inspirado em Newton. Em 1708, o escocês John Keill foi além e acusou Leibniz de plágio. O argumento: em 1676, Leibniz tinha visitado Londres e visto uma cópia do De analysi de Newton.

October 7, 2026 Iniciar leitura

O legado de Newton

Newton foi o maior gênio que já existiu, e também o mais afortunado: só existe um universo, e só se pode descobri-lo uma vez. — Joseph-Louis Lagrange, segundo seus contemporâneos A guerra do cálculo Newton criou o método das fluxions em 1665–1666, mas não publicou. Leibniz chegou ao cálculo de forma independente em 1675 e publicou em 1684. Por alguns anos ninguém brigou. Em 1676, os dois até trocaram cartas cordiais por meio de Henry Oldenburg, e Newton escondeu suas ideias num anagrama.

October 6, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Retrato histórico O retrato de Leibniz pintado por Christoph Bernhard Francke, por volta de 1695, vem do Wikimedia Commons e está em domínio público. Usamos a miniatura de 960 pixels fornecida pelo Commons, sem edição. Página de origem. Indicação de domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema da multiplicação $23\times14$ são ilustrações originais. O esquema explica a conta e não reproduz o mecanismo da máquina histórica. As figuras interativas dos oito bits, das parcelas da regra do produto e das somas da série para π foram criadas para esta trilha. Os exemplos do texto permitem acompanhar as contas mesmo sem JavaScript.

October 7, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas As duas imagens históricas vêm do Wikimedia Commons e estão em domínio público. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Isaac Newton, Godfrey Kneller, 1689: página de origem · domínio público. Página de rosto dos Principia, 1687: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema do prisma são ilustrações originais. As figuras interativas da secante, das aproximações de √2 e das órbitas foram criadas para esta trilha. São recursos didáticos, não reproduções dos manuscritos nem simulações dos experimentos de Newton.

October 6, 2026 Iniciar leitura

Referências e créditos

Para aprofundar Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. As notações de Newton, Leibniz, Lagrange e Arbogast, o $\int$ e os limites de Fourier, o $\infty$ de Wallis. Lagrange, Joseph-Louis. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République, 1797. Arbogast, Louis F. A. Du calcul des dérivations. Estrasburgo: Levrault, 1800. Wallis, John. De sectionibus conicis. Oxford, 1655. E Arithmetica infinitorum. Oxford, 1656. Boole, George. On a general method in analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society, 134, 1844, p. 225–282. Heaviside, Oliver. Electromagnetic Theory. 3 vols. Londres: The Electrician, 1893–1912. Child, J. M. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Chicago: Open Court, 1920. Os manuscritos de outubro de 1675, com o “omn.” e o primeiro $\int$. Robinson, Abraham. Non-standard Analysis. Amsterdã: North-Holland, 1966. Tall, David; Vinner, Shlomo. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, p. 151–169. Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy. Londres: Macmillan, 1910. O livro que ensina o cálculo tratando $dx$ como “um pedacinho de $x$”. Earliest Uses of Symbols of Calculus, Jeff Miller. Fontes das imagens Imagem Fonte Licença Folha de rosto da Théorie des fonctions analytiques de Lagrange (1797) Wikimedia Commons domínio público Oliver Heaviside, retrato de autor desconhecido Wikimedia Commons domínio público O primeiro uso do sinal ∞, De sectionibus conicis de Wallis (1655) Wikimedia Commons domínio público John Wallis, retrato a partir de Godfrey Kneller Wikimedia Commons domínio público As figuras interativas (a secante que vira tangente e as somas de Riemann) foram produzidas para este livro e funcionam nos quatro idiomas do site. O registro das imagens baixadas, com o hash de cada arquivo, está em data/semiotica_imagens.json.

October 19, 2026 Iniciar leitura