Imagine uma escada em que cada degrau tem um número inteiro positivo. Você pode descer: 10, 7, 4, 2, 1… mas em algum momento a escada acaba. Não existe uma sequência infinita de inteiros positivos cada vez menores. Parece óbvio. Fermat transformou essa obviedade numa das ferramentas mais poderosas da teoria dos números: a descida infinita. Como funciona Para provar que uma equação não tem solução em inteiros positivos: Suponha que ela tenha uma solução. A partir dela, construa outra solução, também em inteiros positivos, mas menor. Repita: dessa nova solução sai outra menor, e assim por diante, para sempre. Isso é impossível, porque a escada dos inteiros positivos acaba. Logo, a solução do passo 1 não existia. Fermat tinha orgulho do método. Numa carta de 1659 ao matemático Pierre de Carcavi, disse que era com ele que tinha provado a maior parte dos seus resultados sobre números.
Uma identidade é uma igualdade que vale para todos os valores em que os dois lados fazem sentido. Demonstrar identidades é o grande treino de manipulação da trigonometria: cada passo usa uma relação já provada. A história Para demonstrar identidades é preciso escrever as funções de forma curta. Até o século XVII isso não existia: cada relação era dita em palavras — “o seno do complemento do arco”, “a tangente do arco dobrado” —, e uma identidade de uma linha ocupava um parágrafo. As abreviações apareceram aos poucos: Gunter usou sin numa figura em 1624, o francês Pierre Hérigone o imprimiu num livro em 1634, e o inglês William Oughtred escrevia algo como s co arc para o cosseno. Foi Euler, na Introductio (1748), quem fixou o uso de sin., cos., tang. como símbolos de quantidades que se somam, multiplicam e elevam ao quadrado — e é esse uso que permite manipular uma identidade como uma expressão algébrica.
Nos posts anteriores definimos porposições, teoremas, corolários, dentre outros. Para demonstrarmos teoremas significa que a proposição dada é uma tautologia, em que obtemos através das tabelas verdades. A seguir, apresentamos alguns métodos para demosntração de resultados. Método dedutivo O método dedutivo pe obtido através do uso de definições e outros resultados pré estabelecidos. Para isto, utilizamos as implicações $(\Rightarrow)$ e bi-implicações lógicas $(\Leftrightarrow)$. Exermplo 1: Com as afirmações a seguir, vamos mostrar se é teorema ou não. Para isto, sejam as hipóteses: $H_1$: tempo é dinheiro. $H_2$: vagabundo tem muito tempo. E a tese: $T$: vagabundo tem muito dinheiro. Será que a proposição $H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$ é um teorema?