O segundo livro das Instituzioni analitiche é dedicado ao cálculo diferencial, e uma das suas aplicações principais é a que todo estudante aprende: encontrar máximos e mínimos. Agnesi ensina o método com dezenas de exemplos, de curvas e de problemas geométricos, sempre na mesma sequência: escrever a quantidade, diferenciar, igualar a diferencial a zero e conferir. O ponto mais alto Num ponto de máximo ou de mínimo, a curva fica por um instante horizontal: a reta tangente tem inclinação zero. Como a inclinação da tangente é a derivada, os candidatos a máximo e mínimo são os pontos em que $y' = 0$.
Dois anos depois do Curso de análise, Cauchy publicou o Resumo das lições dadas na Escola Real Politécnica sobre o cálculo infinitesimal (1823). Em quarenta lições curtas, reconstruía o cálculo diferencial e integral com a ideia de limite. É, na essência, o roteiro que os livros de cálculo seguem até hoje. A derivada Para Lagrange, a derivada de $f$ era o coeficiente de $i$ na série de potências de $f(x + i)$. Cauchy a definiu como um limite: