O Curso de análise de 1821 termina com nove notas, uma espécie de apêndice com resultados que Cauchy não quis pôr no corpo do texto. A segunda, sobre as desigualdades, contém duas joias que qualquer estudante de olimpíada conhece. A desigualdade O teorema de Cauchy diz que, para quaisquer números reais $a_1, \ldots, a_n$ e $b_1, \ldots, b_n$, $$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$com igualdade só quando as duas listas são proporcionais.
Até o momento, trabalhamos apenas com igualdades, que em equações trabalhamos com balança, que é noção de equilíbrio. Neste post vamos trabalhar com o contrário, isto é, desequilíbrio. Diferença entre igualdade e desigualdade Para ilustramos sobre a noção de igualdade e desigualdade, observe as sentenças a seguir: Letícia é 2 anos mais velha que Alexandre (igualdade); Letícia é pelo menos 2 anos mais velha que Alexandre (desigualdade). Neste caso, temos significados diferentes. Sejam $L$ de Letícia e $A$ de Alexandre, podemos escrever as sentenças como: