Em 30 de novembro de 1812, o jovem engenheiro de Cherbourg leu no Instituto de França uma memória de título comprido: sobre as funções que só podem tomar dois valores iguais e de sinais contrários quando se trocam entre si as variáveis. Por trás do título estava a primeira teoria geral dos determinantes. Funções que trocam de sinal Tome três variáveis $a_1, a_2, a_3$ e o produto das diferenças $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$Se trocarmos $a_1$ com $a_2$, cada fator ou continua igual ou troca de sinal, e no total $\Delta$ vira $-\Delta$. Qualquer troca de duas variáveis faz o mesmo. Uma permutação das variáveis, que é uma sequência de trocas, multiplica $\Delta$ por $+1$ ou por $-1$: é par ou ímpar.
Na madrugada de 30 de maio de 1832, em Paris, um rapaz de vinte anos passou a noite escrevendo. Évariste Galois tinha um duelo marcado para o amanhecer e sabia que provavelmente não sobreviveria. Escreveu uma longa carta ao amigo Auguste Chevalier, resumindo as ideias que a Academia de Ciências tinha recusado ou perdido, e pediu que ela fosse mostrada a Jacobi e a Gauss, “não sobre a verdade, mas sobre a importância destes teoremas”. Na margem de um manuscrito, deixou uma frase que ficou famosa: