Uma régua sem marcas e um compasso: com só essas duas ferramentas, os gregos construíam pontos médios, perpendiculares e paralelas com precisão total. Quem descobriu As construções clássicas estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a mediatriz e o ponto médio (proposição I.10), a bissetriz (I.9), a perpendicular por um ponto (I.11 e I.12) e a paralela por um ponto (I.31). A regra de usar só régua sem marcas e compasso vem dos três primeiros postulados de Euclides: traçar uma reta por dois pontos, prolongá-la e traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
Exercícios e resoluções 189 Se $\overline{AH}$ é altura relativa ao lado $\overline{BC}$ do $\triangle ABC$, determine $\hat{B}$ e $\hat{C}$ nos casos: Ver respostaa) $\hat{B} = 70^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$ · b) $\hat{B} = 60^{\circ}$ e $\hat{C} = 40^{\circ}$ 190 Em cada caso abaixo temos um triângulo isósceles de base $\overline{BC}$. Determine o ângulo da base. Ver respostaa) $65^{\circ}$ · b) $61^{\circ}$
A sombra de um objeto com o Sol a pino é uma projeção ortogonal. Engenheiros transformaram essa ideia num método de desenho usado até hoje. Quem descobriu A ideia de projetar figuras sobre um plano é antiga — os relógios de sol já leem a sombra projetada do gnômon. Quem a transformou em método foi o francês Gaspard Monge (1746–1818), criador da geometria descritiva. Monge representava objetos por suas projeções ortogonais em dois planos perpendiculares, a planta e a elevação, e assim resolvia problemas de construção no papel. A distância de um ponto a uma reta como o comprimento da perpendicular é resultado clássico dos Elementos de Euclides.
De um ponto fora de uma reta, como baixar uma perpendicular até ela? Este é um dos poucos problemas antigos com um nome de autor registrado. Quem descobriu Proclo atribui a Enópides de Quios (século V a.C.) o primeiro estudo do problema de traçar uma perpendicular a uma reta por um ponto fora dela; Enópides chamava essa reta de “gnomônica”, em referência ao gnômon, a haste vertical dos relógios de sol. As soluções clássicas estão nos Elementos de Euclides: a proposição I.11 levanta a perpendicular por um ponto da reta, e a I.12 a baixa por um ponto fora dela.
Paredes, esquadros, folhas de papel: o mundo construído está cheio de ângulos retos. Quem descobriu O ângulo reto foi usado na prática por egípcios, babilônios, indianos e chineses muito antes de ter definição. A tábua babilônica Plimpton 322 (c. 1800 a.C.) lista ternos de números que formam triângulos retângulos, como 45, 60 e 75 — o triângulo 3-4-5 ampliado 15 vezes —, e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma figura famosa sobre o triângulo 3-4-5. A definição rigorosa é de Euclides (definição I.10): quando uma reta encontra outra formando ângulos adjacentes iguais, cada um deles é reto, e a reta é perpendicular à outra.