Exercícios e resoluções 336 Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$. Ver resposta$r = 12$ 337 A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência. Ver resposta9 cm 338 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência. Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$
De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento. Quem descobriu A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.
Duas circunferências podem ser secantes, tangentes, uma dentro da outra ou afastadas. A distância entre os centros decide qual é o caso. Quem descobriu Os casos básicos estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): duas circunferências distintas se cortam em no máximo dois pontos (proposição III.10), e, quando se tocam, o ponto de contato está na reta que une os centros (III.11 e III.12). Um século depois, Apolônio de Perga propôs o problema mais famoso sobre o tema: dadas três circunferências, traçar uma quarta tangente a todas elas.
Uma reta pode cortar uma circunferência em dois pontos, tocá-la em um só ou passar longe. A reta que só toca é a tangente. Quem descobriu As propriedades da tangente estão no livro III dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). A proposição III.16 mostra que a reta perpendicular ao raio, na sua extremidade, toca a circunferência num único ponto, e a III.18 prova a recíproca: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. A palavra tangente vem do latim tangere, “tocar”.
Todos os pontos à mesma distância de um centro: a definição da circunferência cabe numa linha, e ainda assim ela esconde o número π. Quem descobriu O círculo é uma das formas mais antigas da história humana, das rodas da Mesopotâmia (c. 3500 a.C.) aos monumentos de pedra. A definição rigorosa é de Euclides (definições I.15 a I.18 dos Elementos): uma figura limitada por uma linha cujos pontos estão todos à mesma distância de um ponto interior, o centro. Seu terceiro postulado garante que é possível traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. Quem primeiro calculou com rigor a razão entre o contorno e o diâmetro foi Arquimedes (século III a.C.).