Exercícios e resoluções Exercício 1 — Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) Por um ponto passam infinitas retas. VF Verdadeiro. Tome o ponto $P$ e infinitos pontos fora dele: cada um determina com $P$ uma reta diferente. Por dois pontos distintos passa uma reta. VF Verdadeiro. É o postulado da determinação. Uma reta contém dois pontos distintos. VF Verdadeiro. Pelo postulado da existência, ela contém infinitos. Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. VF Verdadeiro. Existência e unicidade: postulado da determinação. Por três pontos dados passa uma só reta. VF Falso. Só se forem colineares. Três pontos não colineares não estão numa mesma reta. ↻ Recomeçar
Duas retas diferentes que se cruzam têm exatamente um ponto em comum. Parece óbvio — e foi justamente por isso que demorou a ser escrito. Quem descobriu Os geômetras gregos usavam o fato o tempo todo, mas Euclides não o colocou entre seus postulados. Algumas edições antigas dos Elementos acrescentaram a frase “duas retas não encerram um espaço” para cobrir a lacuna; o filólogo J. L. Heiberg, que fez a edição crítica da obra no fim do século XIX, considerou esse trecho um acréscimo posterior. A versão moderna vem dos axiomas de incidência de David Hilbert (1899): se duas retas distintas tivessem dois pontos comuns, contrariariam o postulado de que dois pontos determinam uma única reta.
Se ponto, reta e plano não são definidos, alguém precisa dizer as regras do jogo. Essas regras são os postulados. Quem descobriu A ideia de começar uma teoria por afirmações aceitas sem prova é grega. Aristóteles (século IV a.C.) já discutia por que toda ciência demonstrativa precisa de princípios iniciais, e Euclides pôs isso em prática nos Elementos, abrindo a obra com cinco postulados — o primeiro diz que é possível traçar uma reta de um ponto a outro. Em 1899, David Hilbert completou a lista com cerca de vinte axiomas, incluindo regras que Euclides usava sem enunciar.
Ponto, reta e plano são as peças com que toda a geometria é montada — e, curiosamente, não têm definição. Quem descobriu Ninguém “descobriu” o ponto ou a reta: são ideias tão antigas quanto o hábito de medir terrenos e desenhar plantas. Quem primeiro tentou defini-las por escrito foi Euclides de Alexandria, por volta de 300 a.C., nos Elementos: “ponto é aquilo que não tem partes” e “linha é comprimento sem largura”. Mais de dois mil anos depois, em 1899, o alemão David Hilbert propôs a solução adotada hoje: deixar ponto, reta e plano sem definição e descrever apenas como eles se relacionam.
Leitura complementar A palavra geometria vem do grego: geo (terra) e metria (medida) — medir a terra. Egípcios, babilônios, sumérios, hindus e persas já usavam a geometria para repartir terras férteis depois das cheias, construir casas e templos e acompanhar o céu. Mas foram os gregos os primeiros a tratá-la com rigor, como uma ciência dedutiva, com definições, postulados e teoremas. A tradição grega: o conhecimento organizado em livros e escolas. Os Elementos de Euclides, a obra mais famosa da geometria. Frontispício da primeira edição inglesa dos Elementos (1570). Segundo a tradição, Tales de Mileto levou a geometria do Egito para a Grécia. Depois dele vieram duas escolas que estudaram as figuras e os números por análise e dedução: a pitagórica, de Pitágoras de Samos, e a platônica, de Platão. O auge desse período é a coleção Elementos, escrita por Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C. Ela trata de figuras planas, círculos, triângulos e quadriláteros — e é dela que vem o método que seguimos neste livro.