Verificaremos que as funções circulares dos reais $x = \dfrac{\pi}{n}$, com $n \in \mathbb{N}$ e $n \ge 3$, podem ser calculadas a partir de $\ell_n$, o lado do polígono regular de $n$ lados inscrito no ciclo. A história No livro I do Almagesto, Ptolomeu construiu a sua tábua de cordas exatamente assim: partiu dos lados dos polígonos regulares inscritos — triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e decágono —, que a geometria de Euclides sabia calcular, e obteve os outros arcos por meio de fórmulas de soma, diferença e metade de arcos, que veremos no capítulo VI. A corda de um arco $2\alpha$ num círculo de raio $R$ é $2R\operatorname{sen}\alpha$: o teorema deste capítulo é a tradução moderna dessa ideia.
16 Capítulo 16 · Neste capítulo você vai Polígonos regulares reconhecer polígonos regulares e provar que são inscritíveis e circunscritíveis; identificar centro, apótema e ângulo cêntrico; calcular lado e apótema do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero em função do raio; obter o lado do decágono e do pentágono regulares e reconhecer o segmento áureo. Porcas sextavadas, favos de mel, a placa de PARE, as engrenagens de um relógio: os polígonos regulares estão onde é preciso repetir a mesma peça ao redor de um centro. Neste capítulo, provamos que todo polígono regular cabe exatamente entre duas circunferências de mesmo centro e calculamos seus lados e apótemas a partir do raio — cálculos que, há quase dois mil anos, serviram para montar as primeiras tabelas trigonométricas.
Nos posts anteriores falamos sobre teorema de Stewart, aqui vamos falar sobre relação de circunferência em polígonos regulares. A relação entre circunferências e polígonos regulares é um tema fascinante e complexo da geometria. Polígonos regulares são figuras geométricas com lados e ângulos congruentes, e a circunferência pode ser vista como um caso limite de um polígono regular com um número infinito de lados. Quando um polígono regular é inscrito em uma circunferência, cada um de seus vértices toca a circunferência, e o centro do polígono coincide com o centro da circunferência. Isso permite que se estabeleçam relações precisas entre o raio da circunferência e as dimensões do polígono, como o lado e o apótema (a distância do centro a um lado).
Nos posts anteriores falamos sobre alguns conceitos sobre os polígono de uma forma geral. Os polígonos regulares são figuras geométricas fechadas, planas e fascinantes que têm despertado o interesse de matemáticos e artistas ao longo da história. Caracterizados por terem todos os lados e ângulos internos congruentes, essas figuras são a personificação da simetria e da harmonia. Uma figura geométrica plana com lados de igual comprimento e ângulos internos de igual medida. Isso significa que um polígono regular não apenas parece equilibrado, mas também segue regras matemáticas precisas que podem ser expressas através de fórmulas elegantes e úteis.