Exercícios e resoluções 377 Determine o valor do ângulo $x$ nos casos: Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $100^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $25^{\circ}$ · e) $50^{\circ}$ · f) $20^{\circ}$ 378 Determine o valor do arco $x$ nos casos: Ver respostaa) $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ 379 Nas figuras, calcule o valor de $x$. Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$
Quando o vértice do ângulo está dentro ou fora da circunferência, mas não no centro nem sobre ela, o ângulo é excêntrico — e sua medida é uma média de dois arcos. Quem descobriu As fórmulas dos ângulos excêntricos não estão enunciadas nos Elementos, mas saem diretamente da proposição III.20 de Euclides (ângulo inscrito) combinada com a I.32 (ângulo externo de um triângulo). Um dos problemas mais famosos ligados a elas tem autor: em 1471, o astrônomo alemão Regiomontanus perguntou de que distância uma estátua no alto de um pedestal é vista sob o maior ângulo possível.
O ângulo entre uma corda e a tangente também mede a metade do arco. Daí vem o arco capaz, usado por navegadores para fugir de rochedos. Quem descobriu A medida do ângulo de segmento é a proposição III.32 dos Elementos de Euclides, e a construção do arco capaz — o lugar dos pontos de onde um segmento é visto sob um ângulo dado — é a III.33. O uso prático mais conhecido tem dois nomes: o holandês Willebrord Snellius (1617) e o francês Laurent Pothenot (1692) resolveram o problema de descobrir a própria posição a partir dos ângulos sob os quais se veem três pontos conhecidos, cruzando dois arcos capazes.
O ângulo inscrito mede a metade do arco que ele enxerga. Um caso especial — o ângulo inscrito na semicircunferência é reto — é atribuído a Tales. Quem descobriu A tradição grega atribui a Tales de Mileto (século VI a.C.) a descoberta de que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Diógenes Laércio conta, citando a escritora Pânfila, que Tales sacrificou um boi para celebrar o resultado. A relação geral — o ângulo central é o dobro do inscrito sobre o mesmo arco — é a proposição III.20 dos Elementos de Euclides, e o caso da semicircunferência é a III.31.
O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência e mede o mesmo que o arco que ele enxerga. Com essa ideia, mediu-se o tamanho da Terra. Quem descobriu A relação entre ângulo central e arco é a base da proposição III.26 dos Elementos de Euclides: em circunferências iguais, ângulos centrais iguais correspondem a arcos iguais. O uso mais famoso dela é de Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a.C.), diretor da Biblioteca de Alexandria, que calculou a circunferência da Terra a partir de um ângulo central.
Medir um arco em graus é tão natural hoje que esquecemos de onde veio: da observação do céu. Quem descobriu Os astrônomos babilônios dividiam o caminho do Sol no céu em 12 signos de 30 partes, total de 360. O grego Hiparco de Niceia (século II a.C.) levou essa medida para a geometria e montou a primeira tabela de cordas conhecida, que relacionava cada arco à corda correspondente — o começo da trigonometria. Cláudio Ptolomeu ampliou a tabela no Almagesto (c. 150 d.C.), com cordas de meio em meio grau. A comparação e a soma de arcos de uma mesma circunferência seguem o livro III dos Elementos de Euclides.