Lei dos senos 624 Sabendo que $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ e $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$, determine: a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$. Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$
Medianas, alturas e bissetrizes podem ser calculadas só a partir dos três lados. Todas as fórmulas saem das relações métricas — e uma única relação, a de Stewart, resolve todas de uma vez. Quem descobriu A fórmula da mediana é conhecida como teorema de Apolônio: Papo de Alexandria a atribui a Apolônio de Perga (século III a.C.). A fórmula da altura usa a área do triângulo em função dos lados, a fórmula de Heron, demonstrada por Heron de Alexandria no século I, na Métrica (os árabes a atribuíam a Arquimedes). A relação que vale para qualquer segmento ligando um vértice ao lado oposto foi publicada pelo escocês Matthew Stewart em 1746, no livro Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics.
O teorema de Pitágoras tem um termo de correção quando o ângulo não é reto. Esse termo é a lei dos cossenos. Quem descobriu As relações métricas deste tópico estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), em linguagem de áreas: a proposição II.12 trata do lado oposto a um ângulo obtuso e a II.13, do lado oposto a um ângulo agudo. A forma com o cosseno, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, apareceu muito depois, junto com as tabelas trigonométricas. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi a apresentou em 1427, em A chave da aritmética; na França, a lei dos cossenos ainda se chama théorème d’Al-Kashi. François Viète a escreveu com cossenos em 1593.
Num triângulo qualquer, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número: o diâmetro da circunferência circunscrita. Quem descobriu A lei dos senos nasceu na astronomia, para triângulos desenhados na esfera celeste. A versão esférica foi obtida no século X por astrônomos do mundo islâmico — entre eles Abu al-Wafa e Abu Nasr Mansur. A forma para triângulos planos aparece de modo sistemático no Tratado do quadrilátero (1260) do persa Nasir al-Din al-Tusi, que fez da trigonometria uma disciplina independente da astronomia. Na Europa, ela se espalhou com o livro Sobre triângulos de todos os tipos, de Regiomontanus, escrito em 1464 e impresso em 1533.