Semiótica

Capítulo 2: referências e créditos

Para aprofundar Saussure, Ferdinand de. Curso de linguística geral. São Paulo: Cultrix. Original: Cours de linguistique générale, Paris: Payot, 1916. Peirce, Charles Sanders. Semiótica. São Paulo: Perspectiva, 1977. Seleção dos Collected Papers, com os textos sobre ícone, índice e símbolo. Peirce, Charles Sanders. The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings. 2 vols. Bloomington: Indiana University Press, 1992–1998. Morris, Charles W. Foundations of the Theory of Signs. Chicago: University of Chicago Press, 1938. Santaella, Lucia. O que é semiótica. São Paulo: Brasiliense, 1983. Uma introdução curta e clara, centrada em Peirce. Duval, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berna: Peter Lang, 1995. Tradução brasileira: Semiósis e pensamento humano. São Paulo: Livraria da Física, 2009. Duval, Raymond. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, p. 103–131. Machado, Silvia Dias Alcântara (org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. Falkner, Karen P.; Levi, Linda; Carpenter, Thomas P. Children’s understanding of equality: a foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 1999, p. 232–236. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Swetz, Frank J. Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century. La Salle: Open Court, 1987. Inclui a tradução da Aritmética de Treviso (1478), com a regra de três e a multiplicação em gelosia. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. Sobre a barra de fração, os nomes da regra de três e os sinais de proporção. Os textos antigos deste site sobre frações, multiplicação e regra de três forneceram a etimologia de numerador e denominador, a multiplicação egípcia, a gelosia de Pacioli e a tabela dos nomes da regra de três.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Como ler uma notação: roteiro e glossário

Se a notação matemática fosse um código transparente, bastaria um dicionário: $+$ quer dizer “mais”, $=$ quer dizer “igual”, e pronto. Este capítulo mostrou que não é assim. O mesmo traço é operação ou nome de número; o igual é balança e não seta; o espaço em branco multiplica em $ab$ e não multiplica em $23$; a raiz dá um valor só, embora a equação tenha dois. Ler matemática é reconstruir, a cada fórmula, as relações entre a escrita, o objeto e as regras.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Fórmula, tabela e gráfico: tratamento e conversão

Quando Descartes publicou A Geometria em 1637, ele não inventou nem as curvas nem as equações. As duas coisas já existiam havia séculos. O que ele inventou foi uma ponte entre elas: um jeito de transformar cada curva numa equação e cada equação numa curva, medindo distâncias a partir de uma reta de referência (os dois eixos perpendiculares que hoje chamamos de cartesianos só se firmaram depois dele). O plano cartesiano é, antes de tudo, uma máquina de traduzir de uma escrita para outra.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Raiz quadrada: o lado do quadrado e o sinal que esqueceu

Duas perguntas que parecem iguais: Pergunta Resposta Quanto vale $\sqrt9$? $3$ Quais números reais satisfazem $x^2=9$? $3$ e $-3$ Muita gente estranha a primeira linha. Se $(-3)^2$ também dá $9$, por que $\sqrt9$ não é “$\pm3$”? A resposta está no capítulo 1, no nome antigo do símbolo. Radix quadrati era o lado do quadrado. Um quadrado de área $9$ tem lado $3$, e lado nenhum mede $-3$. O lado de um quadrado de área 9 mede 3. A equação x² = 9 tem duas soluções, mas o lado é um só.Diagrama didático produzido para este livro. Um sinal, um valor A matemática moderna guardou a memória do quadrado numa definição: para $a\ge0$, o símbolo $\sqrt a$ indica o único número não negativo cujo quadrado é $a$. Há também uma razão de sintaxe para isso. Um sinal que, ao receber um número, devolvesse às vezes um, às vezes dois valores, não poderia entrar em contas: o que seria $\sqrt9+1$? $4$ ou $-2$? Para que $\sqrt{\phantom{a}}$ funcione como as outras operações, ele precisa dar uma resposta, e a geometria diz qual.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O sinal de igual é uma balança, não uma seta

Que número deve ir no quadradinho? $$8+4=\square+5$$No fim dos anos 1990, as pesquisadoras norte-americanas Karen Falkner, Linda Levi e Thomas Carpenter fizeram essa pergunta a alunos do primeiro ao sexto ano. Em todas as séries, menos de um em cada dez respondeu $7$. As respostas mais comuns foram $12$ e $17$. Quem respondeu $12$ fez a conta $8+4$ e escreveu o resultado depois do $=$, como sempre fazia. Quem respondeu $17$ somou todos os números que viu. Nenhum dos dois grupos errou a conta. Os dois erraram a leitura do sinal de igual.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Quando o lugar é o algoritmo: multiplicação e regra de três

No texto anterior vimos que a posição dos sinais faz parte do sentido de uma fórmula: parênteses, expoentes e barras de fração mostram como as peças se juntam. Há procedimentos inteiros em que essa ideia vai ao extremo: o lugar onde cada número é escrito é o próprio algoritmo. Quem sabe onde pôr os números já sabe fazer a conta. Os antigos textos deste site reuniam três exemplos, de três épocas diferentes.

October 10, 2026 Iniciar leitura

A gramática das fórmulas: parênteses, ordem e espaço

Em 2019, uma conta de quatro números se espalhou pelas redes sociais e provocou milhões de discussões: $$8\div2(2+2)=\;?$$Metade das pessoas respondia $16$; a outra metade, $1$. Calculadoras de marcas diferentes davam respostas diferentes. Professores de matemática se dividiram. E o mais curioso é que os dois lados tinham razão, cada um segundo uma convenção. Quem responde $16$ lê da esquerda para a direita: $8\div2=4$, e $4\cdot(2+2)=16$. Quem responde $1$ entende que a multiplicação “colada”, sem sinal, $2(2+2)$, forma um bloco que vem antes da divisão: $8\div(2\cdot4)=1$. As duas convenções existem e são usadas em livros sérios. O problema não é de conta. É de sintaxe: a expressão foi escrita de um jeito que não deixa claro como os sinais se agrupam. Um matemático nunca escreveria assim; escreveria $\frac{8}{2}(2+2)$ ou $\frac{8}{2(2+2)}$, e a briga não existiria.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O objeto e as suas representações: o caso das frações

O número cinco pode ser escrito $5$, $\text{V}$, “cinco”, five, $101$ em base dois ou com cinco risquinhos num caderno. As escritas mudam; o número é o mesmo. Até aqui, nada de surpreendente. A surpresa vem quando se pergunta: e onde está o número cinco, afinal? Não está no papel, porque o papel só tem as escritas. Não está numa coleção de cinco maçãs, porque as maçãs têm cor, peso e cheiro, e o número não tem nada disso. Ninguém nunca viu, nem vai ver, o número cinco “em pessoa”. Só vemos as suas representações.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Peirce: ícone, índice e símbolo

Charles Sanders Peirce (1839–1914) foi, ao mesmo tempo, químico, astrônomo, geodesista, lógico e filósofo. Trabalhou trinta anos medindo a gravidade da Terra para o serviço costeiro dos Estados Unidos, criou, independentemente de Frege, uma notação para os quantificadores da lógica e, nas horas que sobravam, construiu a teoria dos signos mais influente do século XX. Morreu pobre, numa casa na Pensilvânia, deixando dezenas de milhares de páginas manuscritas que até hoje estão sendo editadas.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O que é um signo? Saussure, Morris e o sinal de menos

A palavra leviano vem de leve. Um homem leviano é leve no sentido de não pesar as consequências do que faz. Quem lê a palavra num poema pode ouvir as duas coisas ao mesmo tempo: a leveza e a leviandade. Os antigos textos deste site a usavam como exemplo de palavra “semioticamente ativa”: a palavra é uma só, os caminhos de leitura são dois, e é justamente isso que a torna rica.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Capítulo 1: referências e créditos

Para aprofundar Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. A obra de referência sobre a origem de cada símbolo; quase todas as datas deste capítulo podem ser conferidas nela. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Uma história acessível, com o mesmo tema deste livro. Ifrah, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1989. Sobre os sistemas de numeração e o zero. Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. Sobre a passagem de Diofanto a Viète. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. Sobre a disputa entre quatérnios e vetores. Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. Sobre a história do seno e dos nomes da trigonometria. Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Sobre Berkeley, Cauchy e o limite. Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Página mantida desde os anos 1990, com as primeiras ocorrências conhecidas de cada sinal. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews: biografias de al-Khwarizmi, Fibonacci, Recorde, Viète, Harriot, Oughtred, Cayley, Boole, Frege e Peano. Os textos antigos deste site sobre geometria, trigonometria, raiz quadrada, equação do segundo grau, logaritmos, derivadas, regra da cadeia, integrais, limites, funções, equações diferenciais, grupos, matrizes, vetores e quatérnios foram a base para a reescrita deste capítulo. Deles vêm a história do radix quadrati, a figura de completar o quadrado, o teorema de Pitágoras em latim, a etimologia de cateto, hipotenusa, minuto e segundo, a passagem do $\Sigma$ ao $\int$, a prova de que $1=2$, a lei de Hooke, o “cânon do calor” e a propagação de erros, a abreviação de logarithmus até $\log$, a etimologia de derivada e de função, a leitura da função como uma frase com um buraco, a tabuada grupal dos movimentos do triângulo, a disputa entre quatérnios e vetores e as ideias de notação ativa e notação estéril.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Boole, Frege e Peano: a escrita do raciocínio

Até o século XIX, a notação matemática servia para escrever quantidades e as operações entre elas. Faltava uma escrita para outra coisa, que os matemáticos faziam o tempo todo sem anotar: raciocinar. “Se isto, então aquilo”; “para todo número”; “existe um número tal que”. Tudo isso continuava sendo dito em latim, francês ou alemão, entre uma fórmula e outra. Este texto conta como o próprio raciocínio ganhou sinais. A álgebra do pensamento No século XIX, a matemática começou a olhar para dentro: o que é um número? o que é uma prova? Para responder, precisava de uma escrita não só para quantidades, mas para afirmações e para os passos entre elas.

October 10, 2026 Iniciar leitura