Leitura complementar Leitura Legendre: por uma geometria rigorosa e didática Na Grécia antiga, axioma parecia significar uma verdade comum a todos os campos de estudo, e postulado, uma verdade de um campo específico. Euclides assumiu cinco postulados — entre eles, que de qualquer ponto se traça uma reta a qualquer outro, que toda reta limitada se prolonga, que com qualquer centro e raio se traça um círculo, que os ângulos retos são iguais, e o famoso quinto, o das paralelas — e cinco axiomas, como “coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si” e “o todo é maior que a parte”. A partir daí, os Elementos desfiam teoremas sem exercícios nem aplicações: um texto pouco didático pelos padrões modernos. Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público Na França do século XVIII surgiram vários livros para tornar Euclides mais acessível, mas muitos sacrificavam o rigor. Uma exceção notável foram os Elementos de Geometria de Adrien-Marie Legendre (1752–1833). Legendre brilhou na pesquisa — em funções elípticas e na teoria dos números, em que enunciou por completo a lei da reciprocidade quadrática — e seu livro de geometria, que conciliava rigor e didática, teve vinte edições na França ainda em vida do autor. Em 1809 foi traduzido no Rio de Janeiro e adotado na Academia Real Militar, criada no ano seguinte. Por cerca de quarenta anos, Legendre tentou provar o quinto postulado a partir dos outros — tarefa impossível, como hoje se sabe —, mas mesmo nessas tentativas mostrou grande engenhosidade. Adrien-Marie Legendre, caricatura por Julien-Léopold Boilly.Julien-Léopold Boilly · Wikimedia Commons · Domínio público
Exercícios e resoluções 413 Determine o valor de $x$ em cada caso abaixo, sendo $r$, $s$ e $t$ retas paralelas. Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 Nas figuras, as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Determine os valores de $x$ e $y$. Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$
A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados. Quem descobriu O teorema da bissetriz interna é a proposição VI.3 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). O da bissetriz externa não está no texto grego: foi acrescentado como “proposição A” do livro VI pelo escocês Robert Simson, em sua edição dos Elementos de 1756, que serviu de base para o ensino de geometria no Reino Unido por mais de um século. As duas bissetrizes estão ligadas ao círculo de Apolônio, estudado por Apolônio de Perga (século III a.C.).
Um feixe de retas paralelas corta duas transversais em partes proporcionais. É com essa ideia que se divide uma tábua em partes iguais sem fazer contas. Quem descobriu O resultado leva o nome de Tales de Mileto (século VI a.C.), associado pela tradição à medição da altura da Grande Pirâmide pelas sombras (veja a curiosidade sobre ele na abertura do capítulo). A demonstração que conhecemos é de Euclides, na proposição VI.2 dos Elementos (c. 300 a.C.), e usa áreas de triângulos. O nome “teorema de Tales” para esse resultado é uma tradição de países como Brasil, Portugal, França, Espanha e Itália; em alemão e em inglês, o mesmo nome se refere ao ângulo inscrito na semicircunferência.