来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式 $a = -1$，$b = 3$ 2 椭圆：$y/x$ 的最大值 $r = \sqrt{3}$ 3 三角方程组 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 旁切圆 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ 的首位数字 5 6 概率：第 $n$ 次抛出第四个正面 $n = 6$ 和 $n = 7$ 7 有二重根的多项式与直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$，$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式之和 1013 9 满足 $A^{-1} = A^T$ 的整数矩阵 3840 10 立方体沿体对角线方向的投影 $4\sqrt{3}$ 第 1 题：除以 x² − x + 1 的余式 题目 求实数 $a$、$b$，使多项式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式为 $2x + 1$。
来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 等差数列与等比数列 $n = 4$ 2 走过所有桥的路线（欧拉路径） 32（每个方向 16） 3 含对数绝对值的不等式 $-4 < x < -\frac14$ 或 $\frac14 < x < 4$ 4 正定矩阵 $-1 < b < 1$ 5 关于 $x = 1$ 对称的多项式 $1 \pm \sqrt{3}$ 和 $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体内最长的线段 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 与 $y$ 轴相切的圆 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 顶点在抛物线上的梯形 $\frac{483}{64}$ 9 复数根与面积 $4\sqrt{5}$ 10 半角的正切 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 第 1 题：等比数列前几项之和为 −80？ 题目 设 $(a_n)$ 是等差数列，$(b_n)$ 是等比数列。若 $(a_n)$ 的公差为 $r$（$r \ne 0$），$(b_n)$ 的公比为 $q = 1/r$，$a_1 = b_1 = 4$，且
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线；$m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角；$\det A$ 为 $A$ 的行列式。 答案一览 题号 内容 答案 37 行列式与有唯一解的方程 C 38 复数：迭代 $f(z) = z^2 + i$ E 39 凸多边形与等差数列 B 40 多项式：根的调和平均数 C 41 指数函数：不等式 B 42 平面几何：三角形中的矩形 D 43 复数：幂之和 D 44 双曲线：与焦点构成的三角形 A 45 概率：硬币游戏 B 46 旋转体：两个圆锥 E 47 三角方程 A 48 多项式：次数为 3 的倍数的项的系数 C 第 37 题：含行列式且有唯一解的方程 题目 设 $A \in M_3(\mathbb{R})$，使得恰有一个实数 $x$ 满足方程 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$。则 $x + \det A$ 等于
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第一阶段共有 70 道选择题：物理 15 道、葡萄牙语 15 道、英语 10 道、 数学 15 道、化学 15 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 41 至 55。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ 为虚数单位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为以 $A$、$B$ 为端点的线段， $m(\overline{AB})$ 为其长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点、由射线 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 构成的角。 答案一览 题号 内容 答案 41 对数：换底公式 B 42 平面几何：垂直平分线与勾股定理 E 43 同解的线性方程组 C 44 复数：关于实数的命题 A 45 多项式与复平面上的面积 D 46 矩阵：交换性与行列式 E 47 正切与等差数列 D 48 圆锥曲线：双曲线的中心 C 49 立体几何：立方体中的棱锥与外接球 D 50 空间中的位置关系 A 51 二进制表示与概率 C 52 概率：过立方体顶点的直线 A 53 三角形中的三角函数 C 54 三角方程 C 55 正弦定理与外接圆 C 第 41 题：以 120 和 14400 为底的对数之和 题目 若