来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。

ITA 2023 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。

试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线；$m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角；$\det A$ 为 $A$ 的行列式。

答案一览

题号 内容 答案
37 行列式与有唯一解的方程 C
38 复数：迭代 $f(z) = z^2 + i$ E
39 凸多边形与等差数列 B
40 多项式：根的调和平均数 C
41 指数函数：不等式 B
42 平面几何：三角形中的矩形 D
43 复数：幂之和 D
44 双曲线：与焦点构成的三角形 A
45 概率：硬币游戏 B
46 旋转体：两个圆锥 E
47 三角方程 A
48 多项式：次数为 3 的倍数的项的系数 C

第 37 题：含行列式且有唯一解的方程

题目

设 $A \in M_3(\mathbb{R})$，使得恰有一个实数 $x$ 满足方程 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$。则 $x + \det A$ 等于

  • A) $-5$。
  • B) $-4$。
  • C) $-3$。
  • D) $-2$。
  • E) $-1$。

解答

设 $d = \det A$。对 $3 \times 3$ 矩阵，$\det(kM) = k^3\det M$。

1. 改写。

$$\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) = \left(\sqrt[3]{2}\,x^2\right)^3 d = 2x^6 d, \qquad \det(xA^3) = x^3 d^3, \qquad \det A^2 = d^2$$

方程为 $2d\,x^6 + d^3 x^3 = d^2$。

2. $d$ 不能为零。 若 $d = 0$，方程变成 $0 = 0$，所有 $x$ 都满足，与唯一性矛盾。 $d \ne 0$ 时两边除以 $d$：

$$2x^6 + d^2 x^3 - d = 0$$

3. 唯一解。 令 $t = x^3$（每个实数 $t$ 恰好对应一个实数 $x$），得 $2t^2 + d^2 t - d = 0$。 要使 $x$ 唯一，这个二次方程必须只有一个实根：判别式为零。

$$\Delta = d^4 + 8d = d(d^3 + 8) = 0 \quad\Rightarrow\quad d = -2$$

4. $x$ 的值。 $d = -2$ 时：$2t^2 + 4t + 2 = 0 \Rightarrow (t + 1)^2 = 0 \Rightarrow t = -1$，$x = -1$。

$$x + \det A = -1 + (-2) = -3$$

答案： 选 C（$-3$）。

返回答案一览

第 38 题：把 f 作用 2023 次

题目

设 $z \in \mathbb{C}$，$f(z) = z^2 + i$。对每个 $n \in \mathbb{N}$，定义 $f^{(1)}(z) = f(z)$， $f^{(n)}(z) = f(f^{(n-1)}(z))$。则 $f^{(2023)}(0)$ 等于

  • A) $1 - i$。
  • B) $i - 1$。
  • C) $-1 - i$。
  • D) $i$。
  • E) $-i$。

解答

从 $0$ 开始计算前几次迭代：

  • $f^{(1)}(0) = 0^2 + i = i$
  • $f^{(2)}(0) = i^2 + i = -1 + i$
  • $f^{(3)}(0) = (-1 + i)^2 + i = (1 - 2i - 1) + i = -i$
  • $f^{(4)}(0) = (-i)^2 + i = -1 + i$
  • $f^{(5)}(0) = -i$

从 $n = 2$ 起，值交替出现：$n$ 为偶数时为 $-1 + i$，$n$ 为奇数时为 $-i$。2023 是奇数，所以

$$f^{(2023)}(0) = -i$$

答案： 选 E（$-i$）。

返回答案一览

第 39 题：内角成等差数列的凸多边形

题目

考虑以下命题：

  • I. 若 $P$ 是 $n$ 条边都相等的凸多边形，则 $P$ 是正多边形。
  • II. 设 $P$ 是凸六边形。若其内角按从小到大排列成等差数列，则 $P$ 的最小内角与最大内角之和为 $240^\circ$。
  • III. 存在一个凸 100 边形，其内角按从小到大排列成公差 $r = 1^\circ$ 的等差数列。

总是成立的是：

  • A) 仅 I。
  • B) 仅 II。
  • C) 仅 III。
  • D) 仅 II 和 III。
  • E) 都不成立。

解答

I. 错误。 不是正方形的菱形四边相等，但角不相等。

II. 正确。 六边形内角和为 $(6 - 2)\cdot 180^\circ = 720^\circ$。6 项等差数列之和为 $\frac{(a_1 + a_6)\cdot 6}{2} = 3(a_1 + a_6)$。所以 $a_1 + a_6 = 240^\circ$。

III. 错误。 内角和为 $98 \cdot 180^\circ = 17640^\circ$。公差为 $1^\circ$ 时：

$$100a_1 + \frac{99 \cdot 100}{2} = 17640 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 126.9^\circ$$

最大角将是 $a_{100} = 126.9^\circ + 99^\circ = 225.9^\circ > 180^\circ$。凸多边形的内角不会大于 $180^\circ$。

答案： 选 B（仅 II）。

复习请见等差数列。

返回答案一览

第 40 题：根的调和平均数

题目

$n$ 个正实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的调和平均数为

$$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}.$$

已知多项式 $p(x) = 30x^3 - 113x^2 + 108x - 30$ 有三个正实根，则 $p(x)$ 的根的调和平均数为

  • A) $\frac{2}{3}$。
  • B) $\frac{5}{18}$。
  • C) $\frac{5}{6}$。
  • D) $1$。
  • E) $3$。

解答

设三个根为 $r_1, r_2, r_3$。由韦达定理，

$$r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{108}{30}, \qquad r_1 r_2 r_3 = \frac{30}{30} = 1$$

倒数之和为

$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{r_2 r_3 + r_1 r_3 + r_1 r_2}{r_1 r_2 r_3} = \frac{108}{30} = \frac{18}{5}$$

所以

$$H = \frac{3}{18/5} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$$

答案： 选 C（$\frac{5}{6}$）。

返回答案一览

第 41 题：比较 9ˣ、3ˣ 与 2ˣ

题目

设实函数 $f$、$g$ 定义如下：$f(x) = 3^{2x}$，$g(x) = 3^x - 2^x$。考虑以下命题：

  • I. 对所有 $x \in \mathbb{R}$，$g(x) \ge 0$。
  • II. 对所有 $x \in \mathbb{R}$，$f(x) \ge g(x)$。
  • III. 对所有 $x \in \mathbb{R}$，$f(x) + g(x) \ge 0$。

总是成立的是：

  • A) 仅 I。
  • B) 仅 II。
  • C) 仅 III。
  • D) 全部。
  • E) 都不成立。

解答

注意 $f(x) = 9^x$。$x > 0$ 时底数越大幂越大（$9^x > 3^x > 2^x$）；$x < 0$ 时正好相反 （$2^x > 3^x > 9^x$）。

I. 错误。 $x = -1$ 时：$g(-1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} < 0$。

II. 正确。

  • 若 $x \ge 0$：$9^x \ge 3^x > 3^x - 2^x$。
  • 若 $x < 0$：$g(x) = 3^x - 2^x < 0 < 9^x$。

III. 错误。 $x = -1$ 时：$\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 + 6 - 9}{18} = -\frac{1}{18} < 0$。

答案： 选 B（仅 II）。

返回答案一览

第 42 题：线段 EF 的最小值

题目

设 $ABC$ 是直角三角形，$B\hat{A}C = 30^\circ$。在斜边 $\overline{AC}$ 上取点 $D$，过 $D$ 作直线 $r$、$s$ 分别平行于边 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$。若 $E = r \cap \overline{BC}$， $F = s \cap \overline{AB}$，且 $m(\overline{BC}) = 1$，则 $m(\overline{EF})$ 的最小可能值为

  • A) $\frac{\sqrt{2}}{5}$。
  • B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
  • C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
  • D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
  • E) $\sqrt{3}$。

解答

1. 三角形。 斜边是 $\overline{AC}$，所以直角在 $B$。由 $\hat{A} = 30^\circ$ 和 $m(\overline{BC}) = 1$（$30^\circ$ 角的对边）：$m(\overline{AC}) = 2$，$m(\overline{AB}) = \sqrt{3}$。

2. 一个矩形。 $DE \parallel AB$，$DF \parallel BC$，且 $AB \perp BC$。所以 $BEDF$ 是矩形， 其对角线相等：

$$m(\overline{EF}) = m(\overline{BD})$$

3. 求最小值。 $D$ 在斜边上移动；$B$ 到 $\overline{AC}$ 上的点的最短距离就是斜边上的高：

$$m(\overline{BD})_{\min} = \frac{m(\overline{AB})\cdot m(\overline{BC})}{m(\overline{AC})} = \frac{\sqrt{3}\cdot 1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

这条高的垂足位于 $A$ 与 $C$ 之间（$A$、$C$ 处的角都是锐角），所以是可取的点。

答案： 选 D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）。

返回答案一览

第 43 题：求 |z²ⁿ⁺¹ + z̄²ⁿ⁺¹| 之和

题目

已知 $z = 5 - 5i \in \mathbb{C}$，对每个 $n \in \mathbb{N}$ 定义 $f(n) = \left|z^{(2n+1)} + \bar{z}^{(2n+1)}\right|$。$n$ 从 1 到 20 时 $f(n)$ 之和为

  • A) $250(50^{21} - 1)/49$。
  • B) $500\sqrt{2}(50^{20} - 1)/49$。
  • C) $1000(50^{21} - 1)/49$。
  • D) $500(50^{20} - 1)/49$。
  • E) 以上皆非。

解答

1. 三角形式。 $|z| = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$，辐角为 $-\frac{\pi}{4}$： $z = 5\sqrt{2}\,\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$。

2. 与共轭相加。 对任意 $w$，$w + \bar{w} = 2\operatorname{Re}(w)$。令 $k = 2n + 1$，

$$z^k + \bar{z}^k = 2\,(5\sqrt{2})^k\cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)$$

$k$ 为奇数时 $\left|\cos\frac{k\pi}{4}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$。所以

$$f(n) = 2\,(5\sqrt{2})^{2n+1}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = (5\sqrt{2})^{2n}\cdot 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 10\cdot 50^n$$

用 $n = 1$ 验证： $z^3 = 125(1 - i)^3 = 125(-2 - 2i)$，所以 $z^3 + \bar{z}^3 = -500$， $f(1) = 500 = 10 \cdot 50$ ✔

3. 等比数列求和。 $f(n)$ 是首项 500、公比 50 的等比数列：

$$\sum_{n=1}^{20} 10\cdot 50^n = 500\cdot\frac{50^{20} - 1}{50 - 1} = \frac{500\,(50^{20} - 1)}{49}$$

答案： 选 D。

返回答案一览

第 44 题：双曲线上一点与两焦点构成的三角形

题目

考虑双曲线 $H$：$x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 1$。设 $T$ 是以 $P$、$F_1$、$F_2$ 为顶点的三角形， 其中 $F_1$、$F_2$ 是 $H$ 的焦点，$P$ 是 $H$ 上一点。已知 $T$ 的周长为 $5\sqrt{5}$，则 $T$ 三边长 之积为

  • A) $\frac{41\sqrt{5}}{2}$。
  • B) $\frac{41}{4}$。
  • C) $\frac{41\sqrt{5}}{4}$。
  • D) $\frac{41}{8}$。
  • E) $\frac{41\sqrt{5}}{8}$。

解答

1. 双曲线的基本量。 $a = 1$，$b = 2$，$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5}$。所以 $m(\overline{F_1F_2}) = 2\sqrt{5}$。

2. 另外两边。 设 $u = m(\overline{PF_1})$，$v = m(\overline{PF_2})$。

  • 双曲线的定义：$|u - v| = 2a = 2$。
  • 周长：$u + v = 5\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。

3. 乘积 $uv$。 不必求出 $u$、$v$：

$$uv = \frac{(u + v)^2 - (u - v)^2}{4} = \frac{45 - 4}{4} = \frac{41}{4}$$

4. 三边之积。

$$\frac{41}{4}\cdot 2\sqrt{5} = \frac{41\sqrt{5}}{2}$$

答案： 选 A（$\frac{41\sqrt{5}}{2}$）。

返回答案一览

第 45 题：硬币游戏会持续多久？

题目

把一组硬币反复抛掷。每次抛掷后，所有反面朝上的硬币（且只有这些）被拿走，其余硬币留到 下一次抛掷。所有硬币都被拿走时游戏结束。若开始时有四枚硬币，游戏持续超过三轮的概率为

  • A) $1341/4096$。
  • B) $1695/4096$。
  • C) $2049/4096$。
  • D) $2401/4096$。
  • E) $2755/4096$。

解答

1. 逐枚考虑。 每枚硬币只要正面朝上就留在游戏中。3 轮后它还在，当且仅当连续 3 次 正面朝上：概率 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$。所以它在 3 轮内被拿走的概率是 $\frac{7}{8}$。

2. 对立事件。 游戏在 3 轮内结束，当且仅当 4 枚硬币全部在 3 轮内被拿走。各硬币相互独立：

$$P(\text{3 轮内结束}) = \left(\frac{7}{8}\right)^4 = \frac{2401}{4096}$$

3. 结果。

$$P(\text{超过 3 轮}) = 1 - \frac{2401}{4096} = \frac{1695}{4096}$$

答案： 选 B（$1695/4096$）。

小心陷阱： $2401/4096$（选项 D）是对立事件的概率。

复习请见概率入门。

返回答案一览

第 46 题：绕斜边旋转三角形

题目

一个直角三角形的斜边长 10 cm。将此三角形绕包含斜边的轴旋转所得旋转体的体积为 $30\pi$ cm³。 这个三角形的周长（单位 cm）为

  • A) $10 + 4\sqrt{7}$。
  • B) $10 + 5\sqrt{7}$。
  • C) $10 + 2\sqrt{10}$。
  • D) $10 + 3\sqrt{10}$。
  • E) $10 + 4\sqrt{10}$。

解答

1. 旋转体。 绕斜边旋转，三角形生成两个底面相接的圆锥。公共底面半径是斜边上的高 $h$， 两圆锥的高之和为 10：

$$V = \frac{1}{3}\pi h^2 d_1 + \frac{1}{3}\pi h^2 d_2 = \frac{1}{3}\pi h^2\cdot 10 = 30\pi \quad\Rightarrow\quad h = 3$$

2. 两直角边。 设直角边为 $b$、$c$。由面积，$bc = 10 \cdot h = 30$；由勾股定理， $b^2 + c^2 = 100$。所以

$$(b + c)^2 = 100 + 60 = 160 \quad\Rightarrow\quad b + c = 4\sqrt{10}$$

3. 周长。 $10 + 4\sqrt{10}$ cm。

验证三角形存在： $b$、$c$ 是 $t^2 - 4\sqrt{10}\,t + 30 = 0$ 的根，判别式 $160 - 120 = 40 > 0$ ✔

答案： 选 E（$10 + 4\sqrt{10}$）。

返回答案一览

第 47 题：要求两个最大值同时取到的方程

题目

考虑实函数

$$f(x) = \cos(x)\cdot\left[\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 2\sin(x)\right] - \sin(x)\cdot\sin\left(\frac{x}{3}\right) - 2,$$

定义在区间 $I = ]-4\pi, 4\pi[$ 上。关于方程 $f(x) = 0$，可以断定：

  • A) 在 $I$ 内无解。
  • B) 在 $I$ 内有唯一解。
  • C) 在 $I$ 内恰有两个解。
  • D) 在 $I$ 内恰有三个解。
  • E) 在 $I$ 内恰有四个解。

解答

1. 化简。 展开并分组：

$$f(x) = \underbrace{\cos x\cos\tfrac{x}{3} - \sin x\sin\tfrac{x}{3}}_{\cos\left(x + \frac{x}{3}\right)} + \underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x} - 2 = \cos\frac{4x}{3} + \sin 2x - 2$$

2. 只能在最大值处。 余弦和正弦都不超过 1，所以 $f(x) = 0$ 要求同时

$$\cos\frac{4x}{3} = 1 \quad\text{且}\quad \sin 2x = 1$$

3. 不相容。

  • $\cos\frac{4x}{3} = 1 \Rightarrow \frac{4x}{3} = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3k\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$。
  • $\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + m\pi$，$m \in \mathbb{Z}$。

令两者相等：$\frac{3k}{2} = \frac{1}{4} + m \Rightarrow 6k = 1 + 4m$。左边为偶数，右边为奇数： 不可能。方程在任何地方都无解，在 $I$ 内更是如此。

答案： 选 A（无解）。

复习请见两角和与差的公式。

返回答案一览

第 48 题：筛出次数为 3 的倍数的项

题目

在 $\left[1 + x^2 - x^3 + x^4\right]^{10}$ 的展开式中，所有次数为 3 的倍数的项的系数之和为

  • A) 114。
  • B) 228。
  • C) 342。
  • D) 456。
  • E) 570。

解答

设 $P(x) = (1 + x^2 - x^3 + x^4)^{10} = \sum c_k x^k$。要求 $S = c_0 + c_3 + c_6 + \dots$

1. 三次单位根筛选法。 设 $\omega = \operatorname{cis}\frac{2\pi}{3}$，$\omega^3 = 1$， $1 + \omega + \omega^2 = 0$。则当 $k$ 是 3 的倍数时 $1 + \omega^k + \omega^{2k} = 3$，否则为 0。因此

$$S = \frac{P(1) + P(\omega) + P(\omega^2)}{3}$$

2. 计算。

  • $P(1) = (1 + 1 - 1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$。
  • $P(\omega) = (1 + \omega^2 - 1 + \omega)^{10} = (\omega + \omega^2)^{10} = (-1)^{10} = 1$，因为 $\omega^3 = 1$，$\omega^4 = \omega$。
  • 同理 $P(\omega^2) = 1$。
$$S = \frac{1024 + 1 + 1}{3} = 342$$

（这里 $x^0$ 也算作次数为 3 的倍数；若不算，和为 341，不在选项中。）

答案： 选 C（342）。

返回答案一览