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如何学会读写数学：指南与术语表

本章一路跟随着学习者：转写数字的孩子，读应用题的学生，写解答的学生。下面的指南汇集了在所有这些时刻都有帮助的习惯。 六个习惯 手里拿着铅笔读。 数学文本很密：一行可能抵得上一段。保罗·哈尔莫斯建议：“不要只是读，要和它较劲！”重做计算，自己举例，追问每一步为什么成立。 大声读。 把 $\sum_{k=1}^{n} k^2$ 说成“$k$ 的平方从 $k$ 等于一到 $n$ 求和”，会迫使你认出每一个部分。说话卡住的地方，阅读也卡住了。 计算之前先看形状。 最后一步运算是什么？有没有重复、对称、出现两次的数？波格丹诺夫-别尔斯基的黑板，是靠看解出来的。 双向翻译。 从文字到公式，给每个未知量起名字、配上单位；再从公式回到文字，检查它是否说了题目所说的话。 用数检验。 在相信一条规则之前，代入小的数值。一个反例就能推翻一条错误规则；很多例子不能证明一条正确规则，但能给人去寻找证明的信心。 为某个人而写。 完整的句子，公式之间有文字，在计算之前先说明目标。如果同学跟不上你的解答，它就还没写完。 对一份写得不好的解答的完整解读 一个学生交上来的“解方程 $2x + 3 = 11$”的解答是这样的： $$2x + 3 = 11 = 2x = 8 = x = 4.$$ 对的地方： 答案 $x = 4$，以及计算过程。 写下的东西： 一串等式，断言 $11 = 8 = 4$，这是错的。等号被当成了“然后”来用，这正是第4章说明必须区分开的用法之一。 学生遵循的规则： “按顺序写下我做的事，步骤之间用等号连接”，这是一条前后一致的规则，却把口语的语域和符号的语域混在了一起。 改写： “两边同减 $3$，得 $2x = 8$。两边同除以 $2$，得 $x = 4$。验算：$2 \cdot 4 + 3 = 11$。” 得到了什么： 现在每一行单独看都是对的，读者也知道两行之间做了什么。 术语表 转码。 把一个数从一种表示转到另一种表示，比如从口头数词转到书写数字。 转码错误。 照说话的方式一块一块地写数：把 trezentos e quatro（三百零四）写成 $3004$。 数学语域。 用来谈论数学的语言变体，日常词语带着约定的意思（韩礼德）。 教学契约。 学生和老师不言而喻地共同遵守的一套规则，比如“每道题都有答案”（布鲁索）。 关键词。 被当作运算指令的题目用词（“多”就加）。有时管用，常常误导。 约定。 约定好的、本可以是别样的规则：运算顺序、小数分隔符、$\sin^2 x$ 的意思。 错误规则。 通过类比正确规则而构造出的错误规则，比如由分配律得出 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$（马茨）。 反例。 使一个一般断言不成立的情形。一个就足以推翻它。 程序概念。 既是一个过程、又是这个过程所产生的对象的符号，比如 $3+4$ 或 $13^2$（格雷和托尔）。 工具性理解与关系性理解。 知道怎样套用规则，以及同时知道规则为什么成立（斯肯普）。 线性记号。 写在一行之中、用开始与结束的符号代替位置的书写：内米斯的盲文、TeX、计算器。 练习：运用指南一个学生写道：“$\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$，所以 $x = 4$ 时等于 $7$。”用第 5 个习惯检验。 当 $x = 4$ 时：$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$，而不是 $7$。所用的规则 $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 是类比分配律得出的错误规则；用数检验一次就能推翻它。等式 $\sqrt{x^2+9} = x + 3$ 只在 $x = 0$ 时成立。

October 25, 2026 阅读
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用手和耳朵阅读：盲文与内米斯码

普通的数学书写是二维的。在 $\frac{x+1}{2}$ 中，分数线上面的东西被下面的东西除；在 $x^2$ 中，$2$ 在高处，所以是指数；在 $\sqrt{x+1}$ 中，根号的横线恰好盖住里面的东西。位置是符号的一部分，就像一个数字在数中的位置。眼睛一下子就读出了这一切。可是不用眼睛阅读的人呢？ 布莱尔的点 1829 年，法国人路易·布莱尔——五岁起失明，后来在巴黎皇家盲童学校任教——发表了一套用六个凸点排成两列、每列三个的书写系统。每一种组合就是一个符号：至少有一个点的组合共有 $2^6 - 1 = 63$ 种，足够表示字母、标点和数。对于数，布莱尔用了一个省事的办法：在前十个字母前加一个数符，就让 $a$ 表示 $1$，$b$ 表示 $2$，直到 $j$ 表示 $0$。 盲文是一种线性书写：一个符号接一个符号，排成一行。要用它写数学，就得用符号说出普通书写用位置表达的东西：分数从哪里开始、在哪里结束，指数在哪里结束，根号盖到哪里。 算术方块 做算术时，盲校长期使用算术方块（cubarithme）：一块分成方格的板，格子里可以放入小立方块，每一面都刻有一个盲文数字。学生像在练习本上一样列竖式，个位对齐个位，用手指去摸一列列数字。位置又回来了，这回是通过触觉。 法国杂志《研究与发明》（Recherches et inventions，1926）对算术方块的介绍：一块方格板，可以放入刻有盲文数字的立方块，靠触觉列竖式计算。Pierre Villey · 维基共享资源 · 公共领域 内米斯码 美国人亚伯拉罕·内米斯（1918–2013）生来失明，曾被劝阻不要学数学：别人告诉他，他没有办法读公式。他读了心理学，做过别的工作，业余时间继续学数学；最终在哥伦比亚大学获得了数学博士学位，并在大学执教了几十年。为了读写所学的东西，他创造了一套数学盲文码，1952 年在美国被正式采用，至今仍称为内米斯码。 这套码的核心思想，是把位置变成开始与结束的符号。一个分数写成“分数开始，分子，分数线，分母，分数结束”；一个指数写成“上升一层，指数，回到基线”。今天我们在键盘上输入数学时，出于别的原因做的正是同样的事： $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$在高德纳的 TeX（本网站通篇使用的书写方式）中变成 \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} 用花括号代替位置。在这两种情况下，线性化都揭示了结构：书写者必须说出每一部分从哪里开始、在哪里结束。 大声读 屏幕阅读器和口述公式的老师面对的是同一个问题。“$x$ 加一除以二”可以是 $\frac{x+1}{2}$，也可以是 $x + \frac{1}{2}$。在日常说话中，区别靠停顿和语调来表达，而这些在文本里都消失了。能读数学的屏幕阅读器像内米斯那样解决这个问题：它们说“分数开始，$x$ 加一，除以二，分数结束”。听起来很啰嗦，但这恰恰是图形不用文字就交给眼睛的信息。 文字、音乐和素歌 路易·布莱尔在 1829 年介绍他的系统的那本书，名为《用点书写文字、音乐和素歌的方法》（Procédé pour écrire les paroles, la musique et le plain-chant au moyen de points）。乐谱和公式一样，是写在平面上的：音有高有低，和弦层层叠起，它也必须排成一行，才能用手指来读。 练习：口述时不产生歧义用文字写出 $\sqrt{x+1}$、$\sqrt{x} + 1$ 和 $\frac{\sqrt{x+1}}{2}$，使听的人不可能弄错。 “根号，开，$x$ 加一，关。”“根号 $x$，根号结束，加一。”“分数开始：根号，开，$x$ 加一，关；除以二；分数结束。”“开”“关”“结束”这些词，起的正是普通书写所画线条的作用。

October 25, 2026 阅读
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为思考而写：高斯和拉马努金的笔记本

所有的数学书写都有读者。有时读者是另一个人；有时是作者自己，几天或几年之后。两者要求截然不同的写法，而两本著名的笔记本说明了：一份为自己写的文本落到别人手里时会发生什么。 高斯的日记 1796 年 3 月 30 日，哥廷根一个 18 岁的学生打开一个小本子，用拉丁文记下：他发现了如何用直尺和圆规把圆周分成 17 等份，这是自古希腊以来悬而未决的问题。他就是卡尔·弗里德里希·高斯，正是这个结果让他选择了数学而不是语文学。在此后的十八年里，他在本子上写了 146 条简短的记录，几乎总是一句话，有时是一个公式。 高斯日记的第一条记录，1796 年 3 月 30 日：把圆分成十七份所依据的原理。Carl Friedrich Gauss · 维基共享资源 · 公共领域 1796 年 7 月 10 日的记录最为著名： “ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ”：每个数都是三个三角形数之和。高斯日记，1796 年 7 月 10 日。Carl Friedrich Gauss · 维基共享资源 · 公共领域 五个符号加一个希腊词。对高斯来说，这就够了：他知道 $\Delta$ 表示三角形数（$0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$，即形如 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的数），“num”表示任意正整数，而“尤里卡”庆祝的是费马在 1638 年提出却未加证明的一个断言得到了证明。完整的证明五年后发表在《算术研究》中。

October 25, 2026 阅读