本章一路跟随着学习者：转写数字的孩子，读应用题的学生，写解答的学生。下面的指南汇集了在所有这些时刻都有帮助的习惯。

六个习惯

  1. 手里拿着铅笔读。 数学文本很密：一行可能抵得上一段。保罗·哈尔莫斯建议：“不要只是读，要和它较劲！”重做计算，自己举例，追问每一步为什么成立。
  2. 大声读。 把 $\sum_{k=1}^{n} k^2$ 说成“$k$ 的平方从 $k$ 等于一到 $n$ 求和”，会迫使你认出每一个部分。说话卡住的地方，阅读也卡住了。
  3. 计算之前先看形状。 最后一步运算是什么？有没有重复、对称、出现两次的数？波格丹诺夫-别尔斯基的黑板，是靠看解出来的。
  4. 双向翻译。 从文字到公式，给每个未知量起名字、配上单位；再从公式回到文字，检查它是否说了题目所说的话。
  5. 用数检验。 在相信一条规则之前，代入小的数值。一个反例就能推翻一条错误规则；很多例子不能证明一条正确规则，但能给人去寻找证明的信心。
  6. 为某个人而写。 完整的句子，公式之间有文字，在计算之前先说明目标。如果同学跟不上你的解答，它就还没写完。

对一份写得不好的解答的完整解读

一个学生交上来的“解方程 $2x + 3 = 11$”的解答是这样的：

$$2x + 3 = 11 = 2x = 8 = x = 4.$$
  1. 对的地方： 答案 $x = 4$，以及计算过程。
  2. 写下的东西： 一串等式，断言 $11 = 8 = 4$，这是错的。等号被当成了“然后”来用，这正是第4章说明必须区分开的用法之一。
  3. 学生遵循的规则： “按顺序写下我做的事，步骤之间用等号连接”，这是一条前后一致的规则，却把口语的语域和符号的语域混在了一起。
  4. 改写： “两边同减 $3$，得 $2x = 8$。两边同除以 $2$，得 $x = 4$。验算：$2 \cdot 4 + 3 = 11$。”
  5. 得到了什么： 现在每一行单独看都是对的，读者也知道两行之间做了什么。

术语表

  • 转码。 把一个数从一种表示转到另一种表示，比如从口头数词转到书写数字。
  • 转码错误。 照说话的方式一块一块地写数：把 trezentos e quatro（三百零四）写成 $3004$。
  • 数学语域。 用来谈论数学的语言变体，日常词语带着约定的意思（韩礼德）。
  • 教学契约。 学生和老师不言而喻地共同遵守的一套规则，比如“每道题都有答案”（布鲁索）。
  • 关键词。 被当作运算指令的题目用词（“多”就加）。有时管用，常常误导。
  • 约定。 约定好的、本可以是别样的规则：运算顺序、小数分隔符、$\sin^2 x$ 的意思。
  • 错误规则。 通过类比正确规则而构造出的错误规则，比如由分配律得出 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$（马茨）。
  • 反例。 使一个一般断言不成立的情形。一个就足以推翻它。
  • 程序概念。 既是一个过程、又是这个过程所产生的对象的符号，比如 $3+4$ 或 $13^2$（格雷和托尔）。
  • 工具性理解与关系性理解。 知道怎样套用规则，以及同时知道规则为什么成立（斯肯普）。
  • 线性记号。 写在一行之中、用开始与结束的符号代替位置的书写：内米斯的盲文、TeX、计算器。
练习：运用指南

一个学生写道：“$\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$，所以 $x = 4$ 时等于 $7$。”用第 5 个习惯检验。

当 $x = 4$ 时：$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$，而不是 $7$。所用的规则 $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 是类比分配律得出的错误规则；用数检验一次就能推翻它。等式 $\sqrt{x^2+9} = x + 3$ 只在 $x = 0$ 时成立。

练习：大声读出来

不产生歧义地大声读出：$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k$。这个式子算的是什么？

“$n$ 分之一，乘以 $x$ 下标 $k$ 从 $k$ 等于一到 $n$ 的和。”它是数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的算术平均数：全部加起来，再除以个数。把式子大声说出来，有助于在其中认出一个熟悉的想法。

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