希腊几何学家会计算棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的体积，球却一直是个难题。在分两卷的《论球与圆柱》中，阿基米德解决了这个问题，并发现了一些简单得出奇的关系。 定理 把经过球心的圆，比如赤道，称为大圆。阿基米德证明了： 球的表面积是大圆面积的四倍：$S = 4\pi r^2$； 球的体积是一个以大圆为底、以半径为高的圆锥体积的四倍：$V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$。 由此他得出了最让他着迷的推论。考虑恰好包住球的圆柱，半径为 $r$，高为 $2r$。它的体积是 $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$，算上两个底面的总表面积是 $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$。所以 $$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{圆柱}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{球}}}{S_{\text{圆柱}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$球的体积和表面积都是圆柱的三分之二。 13 世纪《论球与圆柱》拉丁文抄本的几页。正是在那个时代，阿基米德的著作从希腊文译成了拉丁文。拉丁文抄本，约 1270 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 像罐头标签一样的表面 有一种看出表面积结果的方式，阿基米德本人就知道。用两个非常接近的水平面去截球和圆柱。两平面之间的球带与圆柱带面积相同：球越窄的地方，球带越倾斜，因而越宽，两种效应恰好抵消。把所有的带加起来，球的表面积就等于圆柱的侧面积 $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$。