希腊几何学家会计算棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的体积，球却一直是个难题。在分两卷的《论球与圆柱》中，阿基米德解决了这个问题，并发现了一些简单得出奇的关系。

定理

把经过球心的圆，比如赤道，称为大圆。阿基米德证明了：

  1. 球的表面积是大圆面积的四倍：$S = 4\pi r^2$；
  2. 球的体积是一个以大圆为底、以半径为高的圆锥体积的四倍：$V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$。

由此他得出了最让他着迷的推论。考虑恰好包住球的圆柱，半径为 $r$，高为 $2r$。它的体积是 $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$，算上两个底面的总表面积是 $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$。所以

$$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{圆柱}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{球}}}{S_{\text{圆柱}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$

球的体积和表面积都是圆柱的三分之二。

13 世纪《论球与圆柱》拉丁文抄本的几页。正是在那个时代，阿基米德的著作从希腊文译成了拉丁文。
13 世纪《论球与圆柱》拉丁文抄本的几页。正是在那个时代，阿基米德的著作从希腊文译成了拉丁文。拉丁文抄本，约 1270 年 · Wikimedia Commons · 公有领域

像罐头标签一样的表面

有一种看出表面积结果的方式，阿基米德本人就知道。用两个非常接近的水平面去截球和圆柱。两平面之间的球带与圆柱带面积相同：球越窄的地方，球带越倾斜，因而越宽，两种效应恰好抵消。把所有的带加起来，球的表面积就等于圆柱的侧面积 $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$。

这个事实有一个实际的推论：把球上每一点水平地投到圆柱上，这种投影保持面积不变。这就是兰伯特等积圆柱投影的基础，用于能如实反映各国面积大小的地图。

西塞罗发现阿基米德的坟墓，皮埃尔-亨利·德·瓦朗谢讷 1787 年的画作。
西塞罗发现阿基米德的坟墓，皮埃尔-亨利·德·瓦朗谢讷 1787 年的画作。Pierre-Henri de Valenciennes · Wikimedia Commons · 公有领域
练习：圆柱形盒子里的球

一个半径 3 厘米的球放在恰好包住它的圆柱形罐子里。罐子里的空气有多少体积？

圆柱：$\pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi$ 立方厘米。球：$\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ 立方厘米，是 $54\pi$ 的 $\frac{2}{3}$。空气占 $54\pi - 36\pi = 18\pi \approx 56.5$ 立方厘米：恰好是罐子的三分之一。

练习：地球的面积

把地球看作半径 6371 千米的球，计算它的表面积。赤道与北纬 30° 纬线之间的部分占多大比例？

$S = 4\pi \cdot 6371^2 \approx 5.10 \times 10^8$ 平方千米。由标签的论证，球带的面积只取决于它的高度：等于 $2\pi r h$。30° 纬线位于赤道上方 $h = r \sin 30° = \frac{r}{2}$ 处。这条带的面积是 $2\pi r \cdot \frac{r}{2} = \pi r^2$，即总表面积的 $\frac{1}{4}$。地球的四分之一位于赤道与北纬 30° 之间。

来源： 阿基米德，《论球与圆柱》，第一卷，命题 33–34 及推论 · 普鲁塔克，《马塞卢斯传》，17 · 西塞罗，《图斯库卢姆论辩》，V，64–66 · Thomas L. Heath，The Works of Archimedes（1897）。

阿基米德的全部主题 · ← 抛物线弓形的求积 · 《方法》与重写本 →

图片来源.